9.5 Теория Ландау фазовых переходов второго рода

Задолго до того Ландау предложил свою теорию фазового перехода вто­рого рода. Рассматривается процесс не при V = const, а при Р = const и не F, а термодинамический потенциал Ф.

Ландау понял, что при фазовом переходе второго рода происходит изменение симметрии вещества. Скажем, в какой-то кристаллической решетке атомы находятся в центрах образованных некоторыми други­ми атомами кубов, а при нагревании и тепловом расширении начиная с некоторой температуры энергетически наиболее низкие положения начи­нают смещаться от центров этих кубов. Отклонение от симметрии также можно характеризовать параметром порядка. Определенные параметры симметрии можно указать и для других фазовых переходов второго ро­да.

Сделаем предположение, что потенциал Гиббса в состоянии частич­ного равновесия, определенном значением параметра порядка п (вообще говоря, неравновесным) , имеет вид

Ф(Г, Р, rj) = Ф_о + А(Т, P)rj² + В(Т, Р)т/⁴ + ...

Забегая вперед заметим, что наличие линейного слагаемого отвечало бы наличию внешнего поля. ⁵⁶ Главное допущение, которое впоследствии оказалось неправильным, состоит в возможности разложения в ряд, т.е. что точка 77 = 0 не является особой для функции Ф(г]). (Кстати, Ландау предвидел такую возможность). Однако во многих случаях результаты расчетов неправильны только в очень близкой к фазовому переходу об­ласти.

Тем не менее теория Ландау, безусловно, заслуживает изучения, как некоторое базовое относительно простое приближение. Есть много задач гораздо более запутанных, скажем, с несколькими взаимосвязанными па­раметрами порядка, в которых без такого подхода было бы неудобно раз­бираться ⁵⁷. К тому же для многих случаев область применимости этой теории весьма широка.

Сделаем еще один шаг. Положим

А(Т,Р) = а(Т-Т_к).

⁵⁶ Наличие слагаемого, содержащего rf, отвечало бы не кривой фазовых переходов на РТ-плоскости, а изолированной точке. Подробнее не будем на этом останавливаться.

^Б7Например, теория сверхпроводимости Гинзбурга-Ландау, в которой параметр порядка — функ­ция координат, является весьма нетривиальным обобщением этой теории.

114

Условие равновесия |^ = О дает нам

2а(Т - Т_к)г] + 4Вг]³ = О,

откуда г] = О или г}² = ^а^ *в ■ Два последних корня существуют лишь при Г < Т_к.

Включим внешнее поле h, что приведет к появлению добавки в по­тенциале Гиббса:

Ф(Г, Р, г], К) = Ф_о + А(Т, Р)г]² + В(Т, Р)г]⁴ - hrj. Условие равновесия

определяет зависимостьц{К) :

2а(Т - Т_к)г) + 4£т/³ = h.

При Т > Т_к зависимость h(rj) монотонна и rj(h) определяется однозначно. При Т < Т_к возможны три состояния — устойчивое равновесное состо­яние, метастабильное и неустойчивое состояние. (Сходство с изотермой Ван-дер-Ваальса не случайно.) Определим восприимчивость:

Дифференцируя уравнение (8)по /г, получаем

д²Ф

Х-1 = 0, (21)

drf

откуда

Х = При Т <Т_к имеем rj² = ^а{%^Т), так что

1

4а{Т_к - Т) закон Кюри.

Х =

115

При Т > Tfc имеем г) = 0 и

Х =

2а(Т-Т_ку

Зависимость х(^) согласуется с экспериментом (вблизи самой темпера­туры 7\ наблюдаются отклонения).

Уже в рамках этой теории видно, что в точке перехода обращаются в нуль вторая и третья производные Ф(г}). Возникают большие флуктуа­ции. В реальных системах становится существенным, что эти флуктуа­ции разные в разных точках. Поэтому необходимо вводить в термодина­мический потенциал производные параметра порядка по координатам и в то же время учитывать флуктуации. С учетом этого область примени­мости теории Ландау определяется "изнутри" нее. Об этом речь пойдет далее, при изучении флуктуации.