9.4 Модель Изинга

Рассмотрим микроскопическую модель, пригодную для исследования ферромагнетика. Эта модель, называемая моделью Изинга ⁵¹, очень про­сто формулируется. В каждом узле некоторой кристаллической решетки находится частица со спином 1/2. Рассматривается поляризационное со­стояние всех частиц. Состояние одной частицы задается удвоенной про­екцией ее спина на выбранную ось, О{ = ±1. В модели может быть задано однородное магнитное поле, направленное вдоль той же оси %.

Энергия спина г в магнитном поле равна —fiTicri.

Кроме того, спины взаимодействуют между собой. Примем, что если соседние спины направлены одинаково (tt или .Ц), то энергия взаимо­действия равна нулю, а если направлены противоположно, то ⁵² J.

Это до некоторой степени искусственная, рафинированная модель, тем не менее качественно соответствующая не только ферромагнетику, но и некоторым другим физическим объектам. (Существуют гораздо бо­лее детализированные модели и расчеты).

Задача состоит в том, чтобы найти термодинамические свойства та­кого магнетика. Вполне достаточно найти свободную энергию. А инте­реснейший вопрос — будет ли у такого магнетика происходить фазовый переход. Подразумевается, что число спинов N очень велико, скачок мо­жет быть только при N —> оо.

То приближенное решение, которое мы приведем, не содержит дока­зательства существования фазового перехода, а наоборот, построено на предположении о его существовании. Оно оказывается не справедливо при температурах, очень близких к температуре перехода (а также и при очень низких).

Обозначим Щ число частиц со спинами, направленными вверх, JVj. — вниз. Мы будем учитывать взаимодействие только с ближайшими сосе­дями, чтобы избежать излишней громоздкости. Пусть q - число ближай-

⁵¹Изинг первым решил соответствующую одномерную задачу. ⁵²Гамильтониан системы молено записать в виде:

N

где суммирование по г' распространяется на всех ближайших соседей г-ro узла.

107

ших соседей, N = Щ + iVj. — полное число частиц. Л4 = магнитный момент, М = M./V — намагниченность. Принимая, что со­стояние частично равновесное характеризуется одним параметром — Щ, выразим свободную энергию F = Е — TS, а затем найдем Щ из условия ее минимальности.

Статистический вес состояния с фиксированным Щ :

—это точное выражение. Энергию же придется считать приближенно.

Учтем, что вклад в энергию взаимодействия дают только соседи со спинами, направленными в разные стороны. Рассмотрим спин, направ­ленный вверх. У него q соседей, из них qN^/N имеют спин, направленный вниз. Здесь мы взяли среднее число таких соседей и расчет стал прибли­женным. Энергия

U = qN_t^J -

Запишем свободную энергию, имея в виду, что она определяется од­ним параметром Nf.

F = —Щ(М - Щ) + y,H{N - 2Щ) - Tin Условие минимума свободной энергии Щ^ ⁼ 0 дает

- 2Щ) -

откуда

_tV T NT

Это уравнение отличается от (1.4.1) лишь заменой % на % + (ЗМ, и поэтому приводится к виду

т.е. совпадает с уравнением теории Вейсса (9.4.1), приводящим к фазово­му переходу "парамагнетик — ферромагнетик". Постоянная (3 оказалась выражена через энергию взаимодействия соседних спинов J.

108

Приближение, которое мы использовали, называют приближением мо­лекулярного поля (оно же — приближение Брэгга - Вильямса).

Кстати, имея выражение для свободной энергии, легко убедиться, что при Т < Tfc именно не равные нулю корни у\^ отвечают минимуму сво­бодной энергии, а нулевой — максимуму. Имея в виду дальнейшее обоб­щение, введем для магнетика параметр

77 =

N ^;

называемый параметром порядка, ц = ±1 соответствует порядку, ц - беспорядку.

= 0

Рис. 15: Зависимость свободной энергии (в условных единицах) п от параметра порядка г} = M/(Nfj) при разных температурах. Т/Т_к = 0,8; 0,85; 0,9; ... 1,15. Крестиками отмечены точки, отвечающие равновесным значениям г/.

возможностям спонтанной намагниченности — "вверх" или "вниз".

Разные возможные знаки у отвечают разным одинаково вероятным шожностям спонтанной намагни Сосчитаем скачок теплоемкости

_N±K

K

U = —N+N\;

Тогда

_{и =}

4N

N²-

qJN ( T ;

109

Вспомнив, что при Т > Tk у = 0, а при Т < Т}~ у² = 3^Тк_т ^г, получаем

53.

Наше приближенное решение ни в коем случае не означает доказа­тельства, что модель Изинга приводит к фазовому переходу. Мы подра­зумевали, что спины расположены в кристаллической решетке. В этом случае переход есть.

Но все рассуждения годились бы и для цепочки спинов, просто в этом случае q = 2. Вариант задачи, когда спины выстроены в цепочку — од­номерную задачу Изинга ⁵⁴ — мы решим точно и убедимся, что фазового перехода не возникает.

Начнем со случая % = 0. Сосредоточим свое внимание не на узлах цепочки, а на связях между узлами. Стартовав от первого звена, состо­яния всех остальных можно задавать, указывая, направлен спин туда же, куда предыдущий, или нет. Тогда каждой связи можно сопоставить энергию 0 или J. Статистическая сумма:

и все результаты нам известны по двухуровневой системе⁵⁵. Разумеется, никаких скачков нет.

В случае % ф 0 также можем решить задачу до конца. Для некото­рого упрощения расчета чуть изменим условие задачи. Будем считать, что цепочка замкнута в кольцо, т.е. включим также взаимодействие по­следнего спина с первым. (Без этого решение было бы немного более громоздким, но фактически дало бы тот же результат). Будем попреж-нему брать за основу энергию, соотнесенную со связью. Но теперь связь нужно характеризовать двумя параметрами — ориентациями спинов на обоих ее краях : О{ и <Ji+\. Энергию ±д"Н спина, находящегося на границе двух звеньев, будем относить наполовину к одному звену, наполовину — к другому.

Рассмотрим вклад одного звена в статсумму — это множитель, кото­рый мы обозначим A_aij(7i+1.

В зависимости от ориентации спинов на краях звена получается та­блица (матрица) Л,

⁵³ Чтобы рассчитать зависимость С(Т) при Г < Г^ нужно иметь более точное выражение у (Г) ⁵⁴Одномерная задача Изинга имеет отношение к расчетам, связанным с переходами "спираль -клубок" длинных молекул (белки, ДНК). ⁵⁵ Множитель 2 отвечает двум возможным ориентациям первого спина и не играет заметной роли

ПО

	1	-1
1	efMIT	e-J/r
-1	e-J/r	e-№IT

При вычислении статсуммы нужно учесть все возможности ориента­ции спинов:

_Е

<7j=±l,...,(7jv=±l

^<71<72''^-<72<7з-'^<7з<74 '''**■&N-1&N^

^{= £}

(71 =±1

(это след произведения матриц). Чтобы возвести матрицу Л в N-ю сте­пень приведем ее к диагональному виду: Л = U~^lAU, где Л - диагональ-на. Тогда Л^ = U~^lK^NU.

Матрица Л имеет на диагонали собственные значения матрицы Л. Поскольку Sp(A^N) = Sp(A^N), искать матрицу U не нужно.

Находим собственные значения матрицы Л :

-J/T

-J/T

= 0;

Ai,2 = ch Статистическая сумма

Z = Af + A? = Af ( 1 + (^

N

N

позволяет выразить энергию, теплоемкость, намагниченность цепочки. Ни одна из этих величин, очевидно, не испытывает скачков.

Причину отсутствия перехода в отсутствие поля легко понять. Ведь стоит одному спину перевернуться, как следующие вдоль цепочки полно­стью потеряют информацию, какой была преимущественная ориентация.

(при N —>• ex)).

Свободная энергия

111

= -NT\n\₁{T,n,J)

Однако можно ожидать, что в трехмерном случае, когда есть много пу­тей передачи такой информации вдоль кристалла, она не потеряется. Так оказывается даже в двумерном случае.

Перейдем к рассмотрению двумерной задачи. Здесь при определенной температуре фазовый переход возможен. Эта задача была решена стро­го Онсагером и представила первый пример, когда фазовый переход был получен теоретически (естественно, особенности в зависимостях от тем­пературы появляются в пределе N —> оо и определяются для C(T)/N). Решение Онсагера неоднократно упрощали, в "Статистической физике" Ландау и Лифшица есть уже вполне доступная версия. Мы дадим лишь намек на путь решения.

Итак, "решаем" двумерную задачу. Будем рассматривать только слу­чай % = 0. Выделим области с одинаково направленными спинами. В качестве параметра L примем длину границ этих областей, точнее, число связей, лежащих на границе. Определим L из условия минимума свобод­ной энергии F = U — TS. Энергия определяется, очевидно, как U = JL. Чтобы найти энтропию, попробуем сосчитать, сколько есть способов про­вести ломаную длины L. Этот расчет сделаем очень грубо, с явным за­вышением: забудем, что граница должна быть замкнутой и что она не может проходить по уже пройденному пути. Тогда на каждом шаге есть три привычные возможности — пойти прямо, налево или направо. Таким образом, всего на L шагах получаем S^L вариантов, откуда статистический вес при данной длине границы Г « 3^L, энтропия S = Lln3, а свободная энергия F = JL-ТЫпЗ.

Если/ > ПпЗ, то есть Т < Т_с = J/ln3, то для минимума F вы­годно, чтобы длина границы была маленькой, L —> 0, что соответствует порядку.

Если Т > Т_с, то L —> оо - беспорядок. Это и есть фазовый переход. Критическая температура, при которой он происходит Т_с ~ J/lnS.

Точное значение температуры перехода Т_с = J/ln(l + л/2)

Трехмерная задача была решена так: сначала удалось решить четы­рехмерную, затем построить теорию возмущений по отклонению размер­ности от 4, dim =4 — 6, построить разложение по б и получить ответ, положив 6=1. (Работа Вильсона).

Но это были последние штрихи. Задача считалась одной из самых загадочных. Сложность задачи была обусловлена тем, что при прибли­жении к точке фазового перехода очень быстро возрастают флуктуации. Главный прорыв в ее решении сделали новосибирские (тогда) физики

112

А.З. Паташинский и В.Л. Покровский (позже и, вероятно, независимо — то же сделал американец Л. Каданов). Была выдвинута гипотеза подо­бия (говорят также масштабной инвариантности, скейлинга), состоя­щая примерно в следующем. Разобьем решетку на одинаковые "блоки", каждый из которых содержит по много спинов. Тогда задача в каком-то смысле сводится к предыдущей, только роль спинов играют эти блоки. Укрупнение блоков снова приводит к той же задаче и т.д. Именно такое "устройство" вещества в точке фазового перехода II рода было угадано, а затем — доказано.

Разумеется, средние значения спинов в блоках не равны ±1/2 (назо­вем эти значения параметром порядка и обозначим 77), а взаимодействие блоков задается не той же величиной J, а как-то иначе. Гипотеза содер­жит утверждение, что зависимость разных физических величин от мас­штаба является степенной, а взаимосвязь измеряемых величин от выбора масштаба не должна зависеть. Представим себе некоторое определенное распределение в пространстве параметра порядка rj(r). Если укрупнить масшаб длин в Л раз (т.е. выбрать блоки в Л³ раз более крупные) и рассматривать соответственно более крупный участок вещества, то зна­чения rj в этих более крупных блоках изменятся на Л^Лг(, где А^ — так называемая аномальная размерность величины г]. Распределение же па­раметра rj в пространстве в статистическом смысле останется прежним. Зависимость этого распределения от температуры изменится, но так, что величина т = (Т — Т^)/Т^ заменится на Х^Атт. Сходным образом изме­нятся и другие величины, каждая — со своей аномальной размерностью.

Фактически решение этой задачи повлекло разрешение загадки фазо­вых переходов второго рода. Мы еще коснемся этого вопроса далее.

Задачи

1. Определить энергию, теплоемкость, намагниченность одномерной цепочки.

2. Для приближения молекулярного поля представить в параметриче­ ском виде зависимость теплоёмкости от температуры при Т < 7\, приняв в качестве параметра магнитный момент. (При % ф О это несложно сделать для всех значений температуры).

3. Для сплава CuZn (латунь) найти скачок теплоемкости в точке упо­ рядочения сплава. Кристаллическая решетка латуни кубическая объ- емноцентрированная. Воспользоваться приближением молекулярно­ го поля.

113