8.4 Пространственная дисперсия диэлектрической проницае­мости плазмы (в электростатических задачах)

Если в плазму поместить заряд, то частицы плазмы экранируют его. Это явление рассмотрим, применяя метод самосогласованного поля. Пусть

⁴⁴Поправка к энергии, обусловленная корреляцией координат частиц вследствие их тождествен­ности, называется обменной.

100

плотность внесенного заряда равна р(г). Электрический потенциал опре­деляется уравнением Пуассона

= -4тг(е

которое преобразуется, как это было сделано в предыдущем разделе, к виду

Aip — H²ip = —4тг/9.

Удобно перейти к компонентам Фурье

|, р(г) = J

и ввести диэлектрическую проницаемость s(k) = 1 + к²/к², так что урав­нение принимает вид

k²e(k)ip_k = 4тг/9_к.

В компонентах Фурье связь напряженности электрического поля Е_к = гк</?к и электрического смещения D_k сводится к соотношению D_k = £(k)E_k. Для D(r) и Е(г) связь оказывается нелокальной:

Напомним, что в плазме, выведенной из равновесия ⁴⁵, могут проис­ходить колебания электронов с частотой шо_е, где и²_е = 4тте²/т_е. На­ходя диэлектрическую проницаемость плазмы в области таких частот, в грубом приближении можно не учитывать теплового разброса скоростей частиц плазмы. Как известно, е(и) = 1 — ш²_е/ш², а частота колебаний определяется условием е{ш) = 0. Можно учесть, что в колебаниях участ­вуют и ионы (правда, с гораздо меньшими амплитудами). Для этого следует учесть в диэлектрической проницаемости вклад в поляризацию вследствие смещения ионов: е(ш) = 1—ш'^_е/ш² — ш²₁/ш²^ ил²_{ = 4тгпе²/гпг. В итоге изменение частоты плазменных колебаний сводится к замене в выражении шо_е массы электрона на приведенную массу электрона и иона. Отметим сходство таких колебаний с оптическими (борновскими) коле­баниями кристаллической решетки.

⁴⁵ Вопрос о колебаниях плазмы не относится к статистической физике и будет подробнее рассмот­рен при изучении кинетического уравнения.

101

При определенных условиях в плазме возможны также и колебания, сходные с акустическими колебаниями кристаллической решетки. Это колебания, в которых электроны и ионы движутся с почти одинаковыми амплитудами. При этом электрическое поле, возникающее при смещении ионов, в очень большой мере экранируется электронами. Поэтому часто­та этих колебаний мала. Закон дисперсии таких колебаний также можно найти из уравнения e{uj, k) = 0. Вклад ионов в диэлектрическую прони­цаемость можно принять таким же, как выше⁴⁶, вклад же электронов — можно считать статическим. Такие колебания называют ионным звуком.

Задачи

1. Найти ядро интегральной связи D и Е в плазме.

2. Получить закон дисперсии ионного звука.

3. Найти емкость плоского конденсатора, заполненного электролитом в качестве диэлектрика

9 Фазовые переходы

9.1 Фазовые переходы первого рода

На рис.14 изображена изотерма газа Ван-дер-Ваальса.

Рис. 14:Изотерма газа Ван-дер-Ваальса. Температура ниже критической.

Участок 1 -г- 2 - жидкость, 2 -г- 3 - перегретая жидкость, 6 -г- 7 - пар, 5 -т- 6 - переохлажденный пар, 3 -т- 4 -т- 5 - неустойчивое состояние, 2 -т- 4 -т- 6 - жидкость+пар.

⁴⁶Это молено сделать, если молено пренебречь тепловым разбросом скоростей ионов в сравнении со скоростью волны. Такие условия реализуются, например, в плазме, нагреваемой протекающим по ней током: передача энергии от легких частиц к тяжелым происходит очень медленно, поэтому газ электронов имеет температуру много большую, чем газ ионов.

102

Пар на дуге 5-i-6 является метастабильным, образование жидкой фазы затруднено, так как для образования капли необходима поверхностная энергия (сейчас мы ее не учитываем).

Подобным же образом затруднено образование пара в перегретой жид­кости.

Условия равновесия: Р = Р_ж = Р_п;

Дп(Р,Г)=Дж(Р,Г) (1)

Уравнение (1), определяющее связь температуры фазового перехода с давлением, как мы увидим, удобнее использовать, представив его в диф­ференциальной форме. Продифференцируем равенство A/i = 1л_п(Р, Т) — Ц_Ж(Р, Т) = 0 вдоль кривой равновесия⁴⁷

dP _{A A} dP _n

^{A A 0}

откуда

dP As

dT Av'

Теплота, подводимая при переходе жидкость —>■ пар, в расчете на одну частицу

называется скрытой теплотой парообразования ⁴⁸. Она равна изменению энтальпии при фазовом переходе при постоянном давлении (не энергии!):

q_P = Aw = w_n - и)_ж.

Подставив в j^, получим уравнение Клапейрона-Клаузиса:

dP _ As _ q

КриваяР(Т) заканчивается в точке, где жидкость перестает отли­чаться от пара (Д.И. Менделеев, 1860), называемой критической точкой.

Обходя эту точку (на РТ диаграмме), можно перейти от воды к пару и обратно без расслоения вещества на фазы. Поведение вещества в районе критической точки эквивалентно фазовому переходу второго рода. (В этой точке обращаются в ноль скачки удельных объема и энтропии).

⁴⁷Использовано соотношение dfj, = —sdT + vdP, где s vs. v — энтропия и объем, приходящиеся на одну частицу.

⁴⁸В таблицах чаще приводят теплоту в расчете на единицу массы {удельную) или — в расчете на моль {молярную).

103

При наличии нескольких фаз на РТ диаграмме получается иная кар­тина и существует тройная точка, характеризующаяся равенством хими­ческих потенциалов:

Это два уравнения, определяющие давление и температуру.

Количества частиц в каждой из фаз определяются уравнениями

N + N + N = N

N_nv_n + N_mv_m + N_Tv_T = V, N_ne_n + Л/"_же_ж + N_Te_T = E,

где v_n(P,T), у_ж(Р,Т), v_T(P,T) — объемы пара, жидкости и твердого ве­щества в расчете на одну частицу, а е_и(Р, Г), е_ж(Р, Т) и е_т(Р, Т) — энер­гии частицы в каждой из фаз. Изменение полного объема V и энергии Е приводит к изменению чисел частиц в каждой из фаз, но пока выписан­ная система уравнений имеет решение с положительными iV_n, N_m и iV_T, температура и давление остаются неизменны. От тройной точки непро­сто отойти при подводе тепла, поэтому тройные точки используются как эталоны температуры.