8.3 Учет взаимодействия в плазме

Картина получается иной, если рассматривать дальнодействующее вза­имодействие (кулоновское). Итак, рассмотрим больцмановскую плазму. Чтобы избежать лишних осложнений, будем рассматривать полностью ионизированную водородную плазму. (Задача была решена первоначаль­но Дебаем и Хюккелем для раствора электролита.) Потенциальная энер­гия взаимодействия пары частиц и = =ре²/г. Нужно учитывать взаимо­действие каждой частицы со многими другими.

Распределение частиц в пространстве и при учете взаимодействия остается однородным, поэтому электрическое поле в любой точке в сред­нем равно нулю. Взаимодействие частиц влияет на их взаимное распо­ложение: частицы с зарядами разных знаков оказываются чаще всего ближе друг к другу, а частицы с зарядами одного знака — дальше. Мы будем рассматривать функцию распределения относительно положе­ния, одной из частиц. Можно представлять себе, что сделанные в разные моменты времени "снимки" мы смещаем таким образом, чтобы избранная

96

нами частица каждый раз оказывалась в начале координат. Тогда вокруг начала координат будет отличное от нуля электрическое поле. Прежде всего, это кулоновское поле самой избранной частицы. Но к тому же распределение частиц относительно выбранной за "центр" оказывается в среднем неоднородно, поэтому возникает некоторое среднее (в указанном смысле) электрическое поле, создаваемое всеми частицами.

Будем считать, что каждая частица находится в этом среднем по­ле всех других, чем и определяется для нее вероятность находиться на том или ином расстоянии от центра. Такой подход, когда функция рас­пределения частиц и поле, созданное этим распределением, находятся

совместно, называется самосогласованном.

Сначала проведем оценку энергии взаимодействия. Рассмотрим слу­чай, когда энергия взаимодействия невелика Т ^> е²/а, а — характер­ное расстояние между ближайшими частицами, Na? = V. Выберем за центр для определенности протон. Выберем сферу вокруг протона, вну­три которой суммарный заряд всех прочих частиц равен —1, т.е. как раз компенсирует заряд центрального протона. Радиус такой сферы г назы­вается радиусом экранирования. Оценим его:

здесь г³ - оценка объема сферы, по - средняя концентрация частиц (про­тонов или электронов). Учитывая малость взаимодействия, разлагаем экспоненты 2пог³(е²/гГ) ~ 1, откуда

ще²

— оценка радиуса экранирования. Для сравнения радиуса экранирования с расстоянием между частицами найдем

а² 1 пе² е² ^2~ гт^Тз '^г~ ^^ ' так что в экранировании каждого заряда участвует много частиц.

Величина радиуса экранирования в растворе электролита порядка 10~³-10~⁴ см, а в ионосфере она достигает нескольких километров.

Имея такую качественную картину экранирования, можем легко най­ти добавочную энергию, приходящуюся на один протон:

1 р² р²

ди ~ - • г (п_{протонов} - п

3

~'V '"протонов '"электронов/ Т/1/2^ЛЛ1/2'

-1

97

Оценка энергии N частиц

_лте² iV³/²|e|³ A

г FV2TV2

U ~ -N— ~ -_: ' -

Найдем добавку к теплоемкости (заранее ясно, что добавка положи­тельна) :

Ч ' ^UV/V) "^V \ глгр I

Су = Су _ид + 5Су, 5Су =

Найдем добавку к давлению. Очевидно, преобладающее притяжение частиц друг к другу приводит к уменьшению давления. Путь расчета такой: 5Су —>■ 5S —>■ 5F —>■ ^Р. Расчет энтропии:

, 5S= f

' 00

пределы определяются тем соображением, что при высокой температу­ре эффект экранировки пропадает. Энтропия уменьшилась, т.к. возник некоторый "порядок" — корреляция в расположении частиц.

3 yl/2_Tl/2'

dF\ ₌_ A

/r>F\ 6Р = -

\dVj_T

Теперь проведем расчет более аккуратно ⁴³. Запишем уравнение Пуас­сона:

(Здесь заряд частицы j-ro сорта обозначен Zje). Это уравнение опреде­ляет поле вокруг одной частицы. Концентрация:

щ = щ_ое т » _п._о ^1

Условие электронейтральности:

i0^zi = 0-

⁴³ Мы получим множитель А. Без формального вывода принят тот факт, что в расчете участвует функция распределения по координатам относительно одной из частиц. Такой вывод (предложен­ный Н.Н.Боголюбовым) можно найти в [1, §79].

98

Подставляем в уравнение

4тге²

Решение, убывающее при г —>■ оо,

у? = — е ^хг. г

С = Zj€.

При малых г коэффициент С определяется самой центральной частицей:

= ZjC

Разложим потенциал

+ ...

г ^J Тогда добавочная энергия взаимодействия

l т—л I Zj4\ j* y—^ ₂ 2

L/— / ^71 г"*^ I 7 U — / ч' 7U

ш \ i / у—^0 ^

j j

ТТ — —— \^ ^{2 2}

и — — 2_^^zj^{e n}j°'

j

а так как и ос (FT)"¹/², то можно получить точное выражение для введенного выше коэффициента А, а следовательно, и для остальных термодинамических функций. Величина гд = к~^ называется в физике плазмы дебаевским радиусом. (Это и есть радиус экранирования).

Рассмотрим добавку к давлению на PF-диаграмме. Загиб вниз кри­вой при V —У 0 дает намек на возможность расслоение плазмы на фазы (образование капель, что и было найдено в экспериментах с электронно-дырочной плазмой полупроводников), хотя сам расчет в этой области концентраций неверен (так как поправка не мала).

Подобный же подход к определению корреляций в расположениях ча­стиц, вызванных их взаимодействием, применим и к вырожденному элек­тронному газу. Нужно лишь вместо 5п (*) подставить 5п = — (дп/дц) Zje</ Однако для полностью вырожденного слабо неидеального электронного газа гораздо больший эффект дает корреляция, обусловленная тожде­ственностью частиц. В случае, когда направления спинов электронов совпадают, принцип Паули не позволяет им находиться в одной и той же точке пространства. Такая (отрицательная) корреляция распростра­няется на расстояния порядка характерной длины волны .

99

Поясним это несколько подробнее. Если два электрона с одинаковыми проекциями спина на одну ось находятся в состояниях с определенны­ми значениями импульсов Шсх и Шс₂, то волновая функция их при за­мене ri <^ г₂ должна изменять знак: Ф(гх,г₂) ос _e^lki^ri+^lk2r₂ _ _eik₂n+ikir₂ Вероятность того, что один электорон находится в малом объеме dV\ вблизи точки ri, а другой — в малом объеме dVi вблизи точки г₂, равна

dW = |Ф(г_ьг₂)|²<гуда ос [1 -cos((ki-k₂)(ri-r₂))]rfKidV2. Она об­ращается в нуль при ri = г₂ и осциллирует в пространстве с периодом 27r/|ki — k₂| ~ Лхар в направлении ki — k₂. Речь должна идти о корреляци­ях в расположении каждого электрона и всех остальных. Поэтому необ­ходимо провести усреднение по различным значениям и направлениям ki и к₂, и это приводит к сглаживанию осцилляции при |гх — г₂| > Л_хар, в результате чего корреляция координат электронов при таких расстояни­ях между ними исчезает. Но минимум dW при |гх — г₂| < Л^р при таком усреднении сохраняется. Если же направления спинов противоположны, то эффект от принципа Паули отсутствует.

Для электрона Л_хар ~ п"¹/³. В итоге энергия каждого электрона убы­вает на величину порядка е²/Л_хар. Поправка к энергии газа⁴⁴

Есть весьма важная задача, где используется расчет с самосогласован­ным полем для вырожденного ферми-газа (при Т=0) во внешнем поле. Это задача о состоянии электронов в тяжелых атомах — теория Томаса-Ферми. Она рассматривается в курсе квантовой механики. (По методу расчета ее место — в курсе статфизики, но во главу угла правильно ста­вить не методы, а объекты исследования).

Задача.

1. Оценить поправку к энергии, обусловленную корреляцией, вызван­ной кулоновским взаимодействием, для полностью вырожденной элек­тронной плазмы.