7.10 Тепловое расширение твердых тел

Газ, находящийся в сосуде, оказывает давление на его стенку за счет передачи импульса стенке отражающимися от нее молекулами. Таким же представляем мы себе механизм возникновения давления фотонного газа. Для газа фононов такое представление не годится: в гармониче­ском приближении импульс, переносимый фононом, равен нулю ³⁴. Тем не менее колебания кристаллической решетки, которые мы можем пред­ставлять себе как газ фононов, оказывают на кристалл давление изнутри. Это эффект, целиком обусловленный отклонением колебаний атомов от гармонического приближения. Зависимость этого давления от темпера­туры приводит к тепловому расширению кристалла.

³⁴Если кристалл закреплен, то каждый атом колеблется около своего положения равновесия, среднее за период значение скорости атома (vi) равно нулю. Импульс, связанный с фононом, (S^m«^v«) = 0. В "закон сохранения" для рассеяния, например, нейтрона входит квазиимпульс фо­нона.

83

Механизм возникновения давления, обусловленного колебаниями кри­сталлической решетки, можно понять с помощью простой модели.

Рассмотрим сначала линейную цепочку частиц, связанных пружин­ками. Обозначим отклонение г-й и (г — 1)-й частиц от своих положений равновесия xi и xi-\\ пусть потенциальная энергия соединяющей их пру­жинки u(xi, Xi-i) = кх²/2 — 6ж³/3, где х = Х{ — Х{-\. Сила, действующая на г-ю частицу со стороны (г—1)-й, равна / = — J^ = —kx+bx². Пусть це­почка колеблется. Среднее по времени значение силы (/) = Ь(х²) и пред­ставляет собой "давление", обусловленное колебаниями. Считая ангармо­ническое слагаемое в потенциальной энергии малой поправкой, можно выразить (х²) через энергию колебаний цепочки Е: Nk(x²)/2 и Е/2, где N — число звеньев (среднее значение потенциальной энергии равно половине полной)³⁵. Если края цепочки не закреплены, ее длина увели­чится на N{f)/k = ЪЕ/к².

Аналогично можно оценить давление фононного газа в трехмерном кристалле, приняв в качестве модели объемную кубическую структуру, построенную из таких же частиц и пружинок. Пусть равновесное рас­стояние между частицами равно а. Давление фононного газа P_phon = (/)/а².Величину (/) оцениваем так же, как для линейной цепочки, (/) ~ Ъ{х²) ~ ЬЕ/kN, с тем только отличием, что Е — энергия колебаний всего кристалла, а N = V/a? — число пружинок одного направления (совпадающее с числом частиц), V — объем кристалла. Таким образом, Pphon ~ (ba/k)(E/V).

Коэффициенты жесткости выражаются через потенциальную энер­гию взаимодействия соседних частиц к = и"(a), b = — и'"(а)/2, и при этом ³⁶ b ~ к/а. В итоге P_phon ~ E/V. Таким образом самая грубая оценка давления газа фононов приводит к такой же формуле, как для обычного газа и газа фотонов.

С ростом температуры растет и Pphan, это и приводит к тепловому расширению кристалла. Линейный коэффициент теплового расширения (равный 1/3 объемного)

I fdP_ph 3V \дТ)_р WK \ дТ

³⁵ В гармоническом приближении равенство моясно считать точным для цепочки с циклическими граничными условиями: в этом случае роль нормальных колебаний играют бегущие волны и для каждого из таких колебаний смещения разных частиц отличаются друг от друга лишь сдвигом по фазе.

³⁶Так для популярного потенциала Леннарда-Джонса и(г) = щ [(а/г)¹² — 2(а/г)⁶] получаем b = Зк/а.

84

где К— модуль всестороннего сжатия,

1 _ _ 1 fdV\ ~K~~V \дР)_т

(в последнем равенстве Р — внешнее давление в законе Гука)³⁷ Таким образом, получаем оценку

he, /ят?\

\/ V

теплоемкость кристаллической решетки. Величину

SKVa

называютпараметром Грюнайзена. Согласно нашей оценке параметр Грюнайзена 7 ~ РрЪхтУ/Е не зависит от температуры. В атомных еди­ницах грубая оценка а~к~Ь~К~1 дает 7 ~ 1- При температуре выше дебаевской C/V ~ 1, так что а ~ 1. Поскольку 1 ат.ед.энергии и 27,2 эВ и 3- 10⁵К, в обычных единицах а ~ 3- 10~⁶К~^г. В качестве самой грубой оценки это правильный ответ. (Для многих веществ величина а несколько больше).

Отметим, что в рассмотренной модели нет поперечного звука.

Можно выразить давление газа фононов и без использования этой несколько примитивной модели. Свободная энергия фононного газа сов­падает с его Q-потенциалом (т.к. химический потенциал равен нулю) и может быть выражена через большую статистическую сумму:

⁰⁰

1 _е

а JV_a=O a

где а номер моды колебания, задаваемой волновым вектором и поляри­зацией (Q вычисляется подобно тому, как это сделано для ферми-газа в конце раздела 7.4).

F = -TlnQ =

Использовано соотношение

'dV\ _ fdV\ /&P'

85

_ 1 ,

^а~2

дТ dV

а

Заметим также, что

а а

При Т <С Тр возбуждены только низкочастотные, акустические колеба­ния, для которых ^ = 7^?, где 7 ⁼ const, ³⁸ так что

7

3KV

а

При Т ^> Td имеем (Ни)_а)^ = 1 ,

а =

и а, как и теплоемкость, не зависит от температуры. В обоих предельных случаях параметр Грюнайзена оказывается константой, но разной при высоких и при низких температурах. Например, для кристалла NaCl при низких температурах 7 ~ 0, 5, а при комнатной 7 ~ 1,6.

В металлах есть еще электронный газ, давление которого очень вели­ко, но очень слабо зависит от температуры. Влияние давления электрон­ного газа на коэффициент теплового расширения (как и на теплоемкость) можно обнаружить только при низких температурах.

ЗАДАЧА.

Найти вклад давления электронного газа в коэффициент теплового расширения металла.