7.8 Газ фотонов

Число фотонов не является фиксированным, так как фотоны могут по­являться и исчезать в любых количествах. Их количество определяется условием, что свободная энергия имеет минимум:

->

(Другое обоснование этого условия — ссылка на условие равновесия в

реакции излучения и поглощения фотона атомом А + 'у <г- A:

Для фотонов р = Нк = Ни/с; е = Нш. Число фотонов :

2Vd³k Vco²duj

dN =

(2тг)³(еМ^т - 1) A3 . (ейы/г - 1)'

78

множитель 2 возник за счет разных поляризаций. Спектральное распре­деление получается умножением dN на fouo:

это известное распределение Планка.

Число фотонов в заданном объеме при данной температуре

Удобно перейти от р к ш и проинтегрировать по углам

x²dx

(Грубая оценка: N ~ V/A³, где Л = 2тгс/о;, hcv ~ T) Энергия фотонного газа ³³

00

2F Г fajd³p FT⁴ /"

_{~ У J}

J e^x-l о

Найдем давление фотонного газа. Для оценки можно написать, как и для любого газа Р ~ пг>р ~ nhtv ~ плотности энергии. Точный расчет даст: PF = \Е.

Чтобы показать это, проинтегрируем по углам выражение для им­пульса, переданного единице площади стенки в единицу времени фото­нами с определенной энергией е = ср. Каждый фотон передает импульс Ар = 2p_z.(0cb z перпендикулярна стенке).Число фотонов, прилетающих с определенного направления n(s)v_zd£l, переданный ими стенке импульс n(e)v_z2p_zdft.Учитывать нужно только фотоны, летящие к стенке (т.е. с v_z > О).При суммировании по всем фотонам это условие не мешает за­мене (v_zp_z) —> е/3, так что в итоге

Р = 2/3 / n(e)edude = E/3V.

v_z>0

(А для газа с энергиями частиц е = р² /2т и изотропной функцией рас­пределения подобным же образом появляется "2/3").

³³Интеграл вычисляется таким же образом, как похожий интеграл в задаче о Ферми-газе. См. также задачу 2.

79

Внутри Солнца давление фотонного газа сопоставимо с давлением га­за ионов и электронов.

Напомним, что в качестве модели поверхности абсолютно черного тела (тела, поглощающего любой упавший на него фотон) может быть принята дырка, ведущая в замкнутую полость с хорошо поглощающими стенками. Состояние газа фотонов в такой полости определяется темпе­ратурой ее стенок. Сосчитаем энергию улетающих через дырку фотонов с энергией е:

тг/2

2irn(s)cs / cosd sin 6d6 = n(s)scir.

0

Значит, число фотонов, улетающих с единицы поверхности черного тела:

1=^С-.^Е. 4 V

Это закон Стефана-Больцмана излучения черного тела. Обычно его пред­ставляют в виде

⁴

А = аТ\ где а = —-^ = 5, 67 • 1(Г⁸Вт/м²К⁴

(температура — в градусах Кельвина).

Если абсолютно черное тело находится в равновесии с газом фотонов, то падающая на единицу его поверхности за единицу времени энергия равна излучаемой, т.е. /. Тело, поглощающее падающее на него излуче­ние лишь частично, можно характеризовать его поглощательной способ­ностью А — долей поглощаемой энергии. Если тело находится в равнове­сии с газом фотонов, то поглощаемая телом энергия AI компенсируется излучаемой, так что излучение тела пропорционально его поглощатель­ной способности /' = AI (закон Кирхгофа).

Теплоемкость:

* = §""■

Давление зависит только от температуры, поэтому теплоемкость Ср мож­но считать бесконечной.

ЗАДАЧИ

1) Оценить давление фотонного газа при температуре Т ~ 10⁷К (в глубине Солнца).

80

2) Введем функцию

00

. , , Г x^adx

fa(y) =

_ех+у ₊ I О

Доказать равенство f_a(y) = Ъ_а(у) — Ь_а(2у)/2^а. Найти соотношение меж­ду концентрациями электронов, позитронов и фотонов при температуре Т ^> т_ес² (такая высокая температура была в малые доли секунды после большого взрыва).