Часть I

Статистическая физика

1 Статистические распределения

Статистическая физика изучает макроскопические свойства тел, осно­вываясь на микроскопических.

Как и в задачах термодинамики, мы будем рассматривать достаточно медленные, равновесные процессы.

Любые термодинамические свойства вещества (в качестве примера выберем газ) можно определить, если мы знаем его уравнение состояния Р = Р(Т, V) и теплоемкость Су = Су{Т, V). Для этого достаточно ис­пользовать известное из термодинамики соотношение dE = TdS — PdV.

Зависимости Р(Т, V) и Су{Т, V) могут быть взяты из опыта либо рассчитаны. Расчет их и есть одна из задач статистической физики.

Другие задачи статистической физики — определение функций рас­пределения, изучение флуктуации и т.п.

1.1 Статистический вес состояния

Мы рассматриваем системы, содержащие очень много частиц (в 1 см³ газа ~ 10¹⁹ молекул) и имеющие поэтому очень много степеней свободы.

Для начала займемся замкнутыми системами.

Будем различать разные способы описания системы: микроскопиче­ское и макроскопическое описания.

Начнем с микроскопического описания. Если бы можно было считать систему идеально изолированной, то можно было бы принять, что она находится в стационарном квантовомеханическом состоянии. Такое со­стояние задается огромным количеством квантовых чисел, равным чис­лу степеней свободы. (В случае применимости классической механики состояние задается координатами и компонентами импульса каждой ча­стицы). Это очень громоздкое описание, которое не может быть сделано реально и не могло бы быть использовано. Волновая функция такого со­стояния ф = фЕ,к{я)) ^гД^е Я обозначает совокупность координат системы, Е — энергию состояния, а к — остальные квантовые числа, столь же громоздка и неудобна.

Макроскопическое описание состоит в том, что система характери-

зуетя некоторым не слишком большим числом параметров. Это могут быть, например, энергия системы, ее объем, температура. Может быть, например, и функция распределения плотности газа по высоте, которая определяется, скажем, тысячей значений плотности при разных высотах (что все еще очень мало по сравнению с числом степеней свободы). Оче­видно, макроскопическое описание состояния является более "грубым", но именно так состояние системы задается реально.

Каждое макросостояние может быть реализовано с помощью множе­ства разных микросостояний.

Статистическим весом Г макросостояния называется количество ми­кросостояний, которые отвечают этому макросостоянию. Г = Т(Е,х), где Е — энергия, х — остальные макроскопические параметры ².

Абсолютно замкнутых систем не существует, какое-то внешнее вли­яние всегда есть. Тем не менее можно принять, что взаимодействие с окружающими телами достаточно мало, чтобы считать энергию опреде­ленной с высокой степенью точности. Однако считать, что рассматрива­емая система находится в определенном стационарном микросостоянии, нельзя. Волновая функция большой системы, включающей как рассмат­риваемую "замкнутую", так и окружающие тела, зависит также и от ко­ординат частиц окружающих тел Q : ф = ijj{ci,Q,t). Сама же по себе "замкнутая" система просто не имеет волновой функции.³ Вероятность того, что она находится в состоянии [Е, к), равна

²

В общем случае у нас довольно мало сведений об этих вероятностях. Ни­же будет принято простейшее предположение, что за достаточно большое время происходит полное "перемешивание" всех микросостояний.