7.6 Идеальный бозе-газ

Бозоны — это частицы с целыми спинами s = 0,1,... Примеры вырожденного бозе-газа:

• фотонный газ,

• фононы — газ колебаний кристаллической решетки,

• частицы с целым спином в ранней Вселенной.

В выбранном нами квантовом состоянии (|г)) может быть любое число частиц. Интересующие нас задачи — определение вероятности того, что в данном состоянии находится щ частиц уо(щ), среднего числа частиц в данном состоянии (щ) — такие же, как для Ферми-газа. И решаются они таким же способом. Отличие состоит только в том, что щ принимает значения 0,1,2,..., а энергия 0, е{, 2е{,....

Вероятность

-г °°

т(щ) = -е^п^~^£^^Т, где q =

Чтобы ряд не расходился и была возможность найти значение хими­ческого потенциала, обеспечивающее данное полное число частиц, мы

74

должны потребовать, чтобы было /i < £{_т[_п. Тогда можем просуммиро­вать ряд и найти q :

_{а =} ⁴

1

l__e(Ai-_e<)/r'

Среднее значение

00

щ=0

T_dq_ qdfJL

Это — распределение Бозе - Эйнштейна. Главное отличие от распреде­ления Больцмана — большее заполнение низких уровней. Причину легко понять. Если N частиц распределены по N разным ячейкам фазового пространства, то вклад такого состояния в общее число состояний сле­дует разделить на N\ (вспомним расчет статистической суммы больцма-новского газа). Каждое такое состояние дает в статистический вес вклад 1/NI. Если же все эти частицы оказались в одной ячейке, то такое состо­яние идет в счет за одно. Равенство

N = J{n(e))dT,

позволяет найти /i = fi(N,T,V).

Энтропию неравновесного состояния бозе-газа можно выразить по­добно тому, как это было сделано для больцмановского и ферми-газов. Только на этот раз число частиц N{ в группе состояний числом G{ может быть больше, чем G{. Соответствующая комбинаторная задача встреча­лась нам при подсчете статистического веса состояния гармонического осциллятора (1.3, задача 2). Приведем сразу же результат:

Распределение Бозе-Эйнштейна отвечает максимуму S(fi) при заданных числе частиц и энергии газа.

7.7 Конденсация Бозе-Эйнштейна

Рассматриваем идеальный бозе-газ с фиксированным числом частиц. Мы будем рассматривать далее своеобразный фазовый переход. Чем-то похож на такой идеальный газ жидкий гелий, его фазовый переход в

75

сверхтекучее состояние напоминает интересующий нас фазовый переход бозе-газа.

Чтобы газ был близок по свойствам к идеальному, он должен быть достаточно разреженным. В таком случае температута интересующего нас фазового перехода, как будет видно из дальнейшего, оказывается очень низкой.

Наблюдать подобный фазовый переход удалось в газе, заключенном в своеобразную магнитную ловушку и охлажденном до температуры по­рядка мкК. Эти работы были отмечены нобелевской премией за 2001 год. Говорить здесь о тонкостях этих красивых экспериментов мы не будем.

Полное число частиц

V [ d³p _ V(2mTfl²

00

Введем в рассмотрение функцию Ъ_а(у) :

00

. . _ч f x^adx

Ьа{У) =

_ex+y _

00 00

d

dy J dy е^х+У -I J dx е^х+У - 1

о о

oo

— = -ab_a_i(y).

= —a / x^a~¹dx

_ex+y 0

(Эта формула не годится при а < 1, у = 0). Функция Ь_а{у) определена при у > 0 ³¹ и монотонно убывает с ростом у.

Через эту функцию удобно выразить полное число частиц

31

6_а(0) = [ е-^хх^а(1 + е~^х + е~^2х + ...)dx = ^ l/n^a+1 ■ I x^a+1e~^xdx = T(a + 1)С(а + 1); о "⁼¹ о

С(3/2) = 2,612; С(2) = тг²/6; С(5/2) = 1,341; <(3) = 1,202; С(4) = тг⁴/90; С(5) = 1,037.

76

где у = —fi/T. Полученное равенство может служить для определения химического потенциала по числу частиц.

Получаем уравнение: 61/2(2/) = N/VAT³/², откуда определяется ?/, а затем и /i = —Ту. При понижении температуры правая часть этого уравнения возрастает и при некоторой температуре Т_к достигает значе­ния 61/2(0). Химический потенциал становится равен нулю. При более низких температурах уравнение не имеет решений. Частиц больше, чем предусмотренных функцией распределения "занимаемых мест".

Что же происходит при Т —> Т&? В этом случае /i —> — О и число частиц с нулевой энергией iVo формально оказывается бесконечным:

Значит, выбирая химический потенциал достаточно близким к нулю, мыможем придать величине iVo любое значение — все частицы, которым "не хватило мест" попадают в одно и то же квантовое состояние с г = 0. (Говорят, что эти частицы составляют конденсат). Уравнение (*) следует переписать:

N = AVT*%_/2{y) + N_o.

При Т > Tfc в этом уравнении следует принять iVo = 0, и тогда оно, как

уже говорилось, определяет химический потенциал. При Т < Т& в этом

уравнении следует положить у = 0. Тогда оно определяет

Отсюда получаем число частиц с нулевой энергией:

N_£=o = N

Функция Ь'-^Лу) при у —> 0 обращается в бесконечность. Это приводит к плавному росту |//(Г)| вблизи Т = Т_к, ц'(Т_к) = 0. ³²

Энергия также легко выражается через функцию Ь_а(у):

Е- ^V I ^Ed?P - ЛУТ^Ъ М -

^E-JbW{ ^^1 ~ ^{AVT hlM} ~

³² Рассуждения относительно скачков справедливы для предела

N N -¥ оо, V -¥ оо, — = const,

обычно называемого термодинамическим пределом.

77

Кривая Су(Т) в критической точке имеет излом. Если же бозе-газ находится во внешнем поле, скажем, в поле тяжести, то будет и скачок теплоемкости.

При температуре ниже критической давление Р = ~ = Р(Т) - пере­стает зависеть от объема.

Все это напоминает свойства насыщенного пара, находящегося в кон­такте с жидкостью. При нагревании происходит испарение жидкости, что влияет на теплоемкость системы, если же жидкость полностью ис­парится, теплоемкость сразу же изменяется. Во внешнем поле частицы конденсата и пространственно выделены (их слой — "на полу"), но в рас­смотренном случае они распределены по всему объему, говорят, что про­исходит конденсация в импульсном пространстве.

Рассмотренное явление называется конденсацией Бозе-Эйнштейна.

Задачи.

1) Бозе-газ находится в поле

jjr_z\ ₌ | f^z при 2г > О, ^ сю при z < 0.

Найти температуру Т& конденсации Бозе-Эйнштейна, теплоемкость при Т < Тк, скачок теплоемкости в точке конденсации, высоту центра тяже­сти газа (z) и скачок величины 4^.

2) Бозе-газ находится в поле U = тпш²г²/2. Найти температуру Т& конденсации Бозе-Эйнштейна, теплоемкость при Т < Т& и скачок тепло­ емкости в точке конденсации.