7.5 Полупроводники

В кристалле каждый электрон движется в периодическом поле, обра­зованном кристаллической решеткой и остальными электронами.

Вспомним факты, известные из квантовой механики.

В энергетическом спектре электрона есть разрешенные и запрещен­ные зоны, уровень удобно характеризовать квазиимпульсом. Количество состояний в данной области "фазового" пространства выражается через квазиимпульсы подобно тому, как для свободных частиц — через им-

71

пульсы:

dT = \

где р — квазиимпульс.

Полупроводник — это кристалл, в основном состоянии которого элек­троны заполняют все состояния ряда зон, в других же, отделенных запре­щенной зоной, электронов нет. В этом отношении полупроводник полно­стью подобен изолятору. Отличие же состоит в относительно небольшой ширине запрещенной зоны. Поэтому при комнатной температуре замет­ное количество электронов переходит в верхнюю зону.

Поставим себе задачу определить, сколько именно электронов перехо­дит в верхнюю зону при температуре Т.

Энергии уровней, освобожденных электронами в нижней зоне и за­нятых — в верхней, лежат вблизи запрещенной зоны. Поэтому можно ограничиться состояниями с небольшими значениями квазиимпульса и энергиями, лежащими вблизи "потолка" нижней, разрешенной зоны (на­зываемой валентной) и "дна" верхней ( зоны проводимости). Пусть ши­рина запрещенной зоны равна А. В полупроводнике А ~ 1эВ. Выберем за начало отсчета энергии "потолок" нижней разрешенной зоны. Тогда в зоне проводимости энергия

р² £ат(р) = Д + £е(р), где обозначено е_е(р) =

2т_е

т_е — некоторая константа порядка массы электрона. В валентной зоне

Р²

£vai(p) = ~£h(p), где e_h(p) =

— константа (масса дырки, h = hole =дырка). Концентрация электронов в зоне проводимости

dT' = dT/V, f(x)=

e^x + 1

Валентная зона почти целиком заполнена, концентрация незаполнен­ных состояний, называемых дырками, тоже невелика

^dr_'4^f

N_h

ⁿh = ~ТУ =

72

Если ввести /i/j = —/i, то формулы для электронов и дырок будут почти одинаковы, но в физике полупроводников предпочитают использовать один химический потенциал /i. Уровень энергии, равный /i, называют уровнем Ферми. Положение уровня Ферми относительно границ зон не зависит от выбора начала отсчета энергии. В рассматриваемых условиях

А - /i ~ /i > Г, (1)

(что далее следует проверить), поэтому при температурах порядка ком­натной концентрации электронов и дырок невелики, fix) & е~^ж, так что и электроны, и дырки образуют больцмановские газы. В этом случае интегралы уже были вычислены

_ _ео*-д)/г₂ (цьР\^3/2. _т _ _е-„/т₂ (гщГ\^3/2

Заметим, что

Это закон действующих масс для реакции

е + h <=^ колебания решетки (фононы). Из условия электронейтральности п_е = п^, находим

⁶ " " "

Уровень Ферми оказывается близок к середине запрещенной зоны:

A3 m_h M + ^Tln

2 4 гп_е

поэтому условие (1) выполнено.

Самая интересная характеристика полупроводника — его проводи­мость. Как известно, она равна а = пе²т/т, где г — время между соуда­рениями (время пробега). Величина т — сравнительно слабо зависит от температуры, п — концентрация носителей тока (электронов и дырок) зависит от температуры очень сильно. Фактически это и определяет за­висимость проводимости полупроводников от температуры. В отличие от проводимости металлов, у полупроводников она растет с ростом тем­пературы.

73

Обычно в полупроводниках бывают примеси — доноры и акцепторы, которые поставляют или захватывают электроны. Чем выше темпера­тура, тем меньше роль примесей. Рассмотренный нами случай чистого полупроводника трудно достижим даже при высокой температуре.

ЗАДАЧИ

1. Найти теплоемкость электронов и дырок в чистом полупроводнике.

2. Атом примеси имеет уровень энергии е_а = А_а <С А (такая примесь называется акцепторной). На этом уровне может оказаться один элек­ трон, причем он может находиться в одном из двух спиновых состояний. Выразить вероятность того, что электрон окажется в таком состоянии через химический потенциал электронов.

3. Атом примеси имеет уровень энергии Ed = А — А^; Ad <С A (донорная примесь). Атом донорной примеси, лишенный электрона, ока­ зывается положительно заряженным. При достаточно большой концен­ трации донорной примеси щ это приводит к резкому уменьшению кон­ центрации дырок (согласно (2)). Найти концентрацию электронов в зоне проводимости в условиях, когда концентрацией дырок в валентной зоне можно пренебречь.