7.4 Теплоемкость вырожденного электронного газа

Наличие электронного газа в металлах дает естественное объяснение проводимости и высокой теплопроводности. Однако отсутствие наблю­даемого вклада его в теплоемкость металла было загадочным. Можно

Чтобы найти /- , ., надо вычислить / i. , в комплексной плоскости по пути

j l-(-e ⁷ ^ J 1+е ^

оо, 0, 1т, 1т + оо.

68

было ожидать теплоемкости ~ 3/2 на электрон. Разгадка — в свойствах квантового распределения, приводящего к уменьшению теплоемкости во много раз.

Теплоемкость может быть найдена как Су = (ЦОудт Энергия

_Е 2V [

оказывается выражена через химический потенциал, поэтому нужно еще найти fi[N/V, T) — из уравнения

_N= 2V

Выделим в dT = т^щзеРр зависимость от энергии: dT = Вл/ede. Пользуясь выведенной в предыдущем пункте формулой, находим

36

5 " 6 2 5 " V 8 a*V

Выразим из первого уравнения /i = /j,[N,T). Для этого решаем его методом последовательных приближений, полагая д'™ = £q- Далее:

(1) I 1 " ^± \ I 1 " "^ \

^(} = ^£ (1 ) ^£(1

\

">

7Г² Т 2 So

Теплоемкость мала, основное поглощение тепла идет за счет электро­нов, находящихся вблизи поверхности Ферми. Вклад электронного газа в теплоемкость можно наблюдать при низких температурах, так как с уменьшением температуры вклад кристаллической решетки С ос Т³ убы­вает гораздо быстрее³⁰.

³⁰Для разделения кубического и линейного вкладов в теплоёмкость удобно построить график Су/Т в зависимости от Т².

69

Другой способ расчета теплоемкости — через Г2-потенциал fi = -TlnQ, Q

где Q — большая статистическая сумма.

Q = V* ТТ _e^Nki»-£k)IT ₌ TT y^ _e

При вычислении Q не являются фиксированными не только энергия Y^ Sjfe-^ife, но и полное число частиц ^ Nk- Это позволит изменить порядок операций — перейти от суммы произведений к произведению сумм

_eN_k(»-e_k)/T (к) (к) (Щ)

Таким образом, Q = П&#ь ^гД^е Як = 1 + е^

Этот способ вычисления Q сводится, по сути дела, к тому, что мы рас­сматриваем газ как множество независимых "тел", о которых шла речь при выводе распределения Ферми - Дирака ("тело" — совокупность ча­стиц в данном квантовом состоянии).

Запишем Г2-потенциал:

П = -

k jfe

Сумма по всем состояниям к сводится к интегралу:

00

п = -тв /

о интегрируем по частям

00 _ / в ' as l v-^ ^£k *

3J е^-^£)/^т + 1 3 ^ eW-wIT _|_ 1 з о ^к

(Ранее уже получали, что Г2 = — PV, а известное равенство PV можем использовать для контроля правильности вычислений.)

_ "-tU г/о / ^ О ъ ± \ , _ l/ii 2-D о/о

О — 1I°/^Z I 1 -I 7Г I N — СИ II •

ii — „Д I 1 "Г _ 7Г „ | , iV — ~ /X ,

a/i 3

y 3 fjb 2

70

Таким образом, результаты совпали.

Вырожденный ферми-газ встречается в природе:

• электронный газ в металлах;

• внутри атома (если атом содержит много электронов, то большая их часть образует вырожденный электронный газ; для его описания ис­ пользуется модель Томаса-Ферми);

• белые карлики (электронный газ удерживает такую звезду от даль­ нейшего сжатия, ядра "висят" на электронах);

• ядра атомов (вырожденный газ, вернее, смесь газов протонов и ней­ тронов) ;

• нейтронные звезды;

• ранняя Вселенная (в первые секунды и доли секунды после Боль­ шого взрыва Вселенная заполнена квантовыми газами фермионов и бо­ зонов) .

ЗАДАЧА.

Атомное ядро можно рассматривать как смесь полностью вырожден­ных ферми-газов протонов и нейтронов в сферической потенциальной яме радиуса R = RqA¹^³ (возникшей благодаря взаимодействию тех же частиц), где Rq =, а А — . атомная масса (суммарное число протонов и нейтронов в ядре).

Пусть медленный нейтрон сталкивается с ядром. Нейтрон "застрева­ет" в ядре, "раздавая" при столкновениях свою энергию другим нуклонам — ядро нагревается. Определить температуру ядра.

Далее, с некоторой задержкой по времени, происходит "испарение" нейтронов из ядра. Найти распределение "испарившихся" нейтронов по энергиям (ограничиться учетом первого из "испарившихся" нейтронов).