7.1 Идеальный ферми-газ

Будем рассматривать идеальный газ и решать задачу о вероятности нахождения частицы в выбранном квантовом состоянии (с энергией е). Мы будем рассматривать газ, частицы которого имеют полуцелый спин (фермионы) и для которых, следовательно, справедлив принцип Паули: в одной квантовой ячейке фазового пространства не может быть больше одной частицы с заданной поляризацией.

Воспользуемся распределением для тела с переменным числом частиц в термостате:

_WAT . - ^L_e(Nli-E_N>i)/T

понимая под "телом" совокупность частиц в рассматриваемом состо­янии |г), а под термостатом — остальной газ. Число частиц в этом "теле" щ может быть равно 0 или 1, а энергия его — соответственно равна О или г. Вероятности этих двух состояний "тела":

q q

где q = 1 + e^~^£i''^T — нормировочная константа. Итак,

1 1

Среднее число частиц в состоянии

Распределение

называют распределением Ферми - Дирака.

Форма кривой f(e) зависит от температуры. При малых Т ширина пе­реходной области ~ Т. Если е^~^£п^^т <С 1, то получаем больцмановское распределение:

(щ) = e^-

Полное число частиц:

N =

gVd³p

(2-кНУ

63

(Множитель д соответствует спиновому вырождению, далее для ферми-газа будем принимать д = 2). Это равенство может послужить для опре­деления химического потенциала /j,(N, V, Т).

Энтропию идеального ферми-газа в неравновесном состоянии можно найти подобно тому, как это было сделано для больцмановского газа (раздел 3.3). Все рассуждения и выкладки вплоть до формулы (3.3.1) остаются в силе, однако теперь, вообще говоря N{ ~ G{. Поэтому

AMI Выраженная через числа заполнения, энтропия

^s = -

'' ^G

Первое слагаемое можно понимать как вклад в энтропию электронов, второе — как вклад дырок.

Равновесное распределение (1) отвечает максимуму энтропии при за­данных числе частиц и энергии газа.

7.2 Ферми-газ при Т=0

Сделаем предположение, что Т <С /i и формально устремим Т —> 0. Это соответствует ступеньке в распределении f(e). В пространстве им­пульсов оказываются заполнены все состояния с р < ро> ^гД^е Ро = Pf называют граничным, или фермиевским импульсом. Его можно выра­зить через концентрацию частиц:

соответствующую граничному импульсу энергию р^/2т = ео = /i назы­вают энергией Ферми, поверхность в импульсном пространстве е(р) = /i — поверхностью Ферми; при меньших энергиях частиц все состояния за­полнены, при больших — пусты.

Выразим еще раз полное число частиц:

64

и энергию

J 2т 2т 5 5 2т 5

о

Таким образом, средняя энергия частицы для вырожденного ферми-газа

Для рассматриваемого случая статистический вес равен единице. По­этому при Т = 0 и S = 0. Сосчитаем давление

ро^-'/З; е_оС^/3; Р = - gf

Зависимость от объема такая же, как для адиабаты одноатомного больц-мановского газа: pV¹ = const, у = 5/3.

Для примера рассмотрим электронный газ в металле. В среднем на один атом приходится 1 -Ь 2 "обобществляемых" электрона (их называют электронами проводимости), т.е. концентрация электронов ~ 10²²см~³ (концентрация молекул в воздухе ~ 10¹⁹см~³), масса электрона много меньше массы молекулы газа. Все это приводит к тому, что газ ста­новится сильно вырожденным. Впрочем, и без численных оценок ясно, что обобществляемые в металле электроны имеют длину волны порядка размеров атомов, атомы расположены "вплотную", поэтому характерная длина волны порядка расстояний между электронами.

Точнее говоря, при образовании из отдельных атомов кристалла ме­талла волновые функции каждого из электронов проводимости распро­страняются на весь кристалл, так что почти у всех них длина волны возрастает и энергия электронов уменьшается ( в расчете на один элек­трон — на заметную долю величины £$). Так возникает металлическая связь.

В атомных единицах: fi ~ 1 ат.ед. рзЗО эВ ^> Т ~ ^ эВ (это примерно комнатная температура). Для определения давления электронного газа в металле можно принять его температуру равной нулю.

Оценим давление электронного газа в металле.

F_e ~ —— ~ 1 ат.ед.

Перейти к обычным единицам удобно, сравнивая это давление с атмо­сферным. Для воздуха при комнатной температуре Ратм =

65

Поэтому

Р_е N_ee₀ 10²² 30 _л = _{л fi}

— = -^— rv. rv» Ю⁵ — 10

Ратм iV_aTMT 10" 1/40 ' •

Потенциальная энергия взаимодействия электронов друг с другом е²/г; в нашем случае р²/2т ~ H²/(2mr²) ~ е²/г,— потенциальная и кине­тическая энергия одного порядка; казалось бы, нельзя считать газ иде­альным. Однако можно предположить (и доказать — только не в этом курсе), что большая часть взаимодействия электрона с другими элек­тронами и с ионами сводится к взаимодействию его с неким средним периодическим полем, что ведет к появлению эффективной энергии и квазиимпульса, а также к появлению двойного электрического слоя на границе металла, приводящего к определенной работе выхода.

Если уменьшить объем в 1000 раз, то кинетическая энергия увеличит­ся в 100 раз, а потенциальная только в 10 раз, так что уже без сомнения можно считать электронный газ идеальным.

Вблизи центра Земли давление достаточно велико, чтобы уравнение состояния вещества совпадало с уравнением состояния идеального элек­тронного газа.

Вернемся к вопросу об идеальности электронного газа в металле при обычных давлениях. Фактически в ряде явлений (теплоемкость элек­тронного газа, его проводимость, теплопроводность) принимают участие электроны с энергиями, близкими к энергии Ферми, для которых \г—fi\ = \р²/2т — p²₎f2rn\ « (ро/т)\р — ро\ <С /i- В связи с этим иногда нахо­дят удобным рассматривать вместо свободных электронов возбуждения электронного газа (квазичастицы — электроны и дырки) с энергией б = vo\p — po|, отсчитываемой от уровня Ферми. При этом подразумева­ется, что большая часть взаимодействия электронов с решеткой и друг с другом включена в энергию основного состояния электронного газа, количество же возбуждений достаточно мало, чтобы считать газ воз­буждений близким к идеальному. При нагревании металла происходит рождение именно таких квазичастиц. В энергетическом слое толщины ~ ТI[I вблизи поверхности Ферми энергия газа квазичастиц совпадает с кинетической энергией электронного газа, отсчитанной от ее значения, взятого при Т = 0. Вдали от поверхности Ферми квазичастиц почти нет. В то же время концентрация квазичастиц во много раз (примерно в fi/T раз) меньше, чем концентрация частиц. Поэтому газ квазичастиц близок

по

к идеальному .

²⁸Учет парного взаимодействия электронов в металле (а также атомов — в жидком ³Не) осуще-

66

Один из итогов рассмотрения квазичастиц как раз и состоит в том, что приближение, в котором электоронный газ считается идеальным, оказы­вается достаточно хорошим.

ЗАДАЧИ

1. Найти отношение числа квазичастиц электронного газа при Т <С /i к числу частиц.

Ответ: 3 In 2 • (T/fi), /i = p₀v₀/2.

2. Оценить радиус белого карлика, масса которого порядка массы Солнца (10³³ г).

3. Оценить радиус нейтронной звезды, масса которой порядка массы Солнца.

4. В атомах с большим числом Z электронов большая часть из них движется вблизи ядра в объеме с характерным размером R. В модели То­ маса - Ферми эти электроны можно рассматриваются как вырожденный электронный газ, температура которого равна нулю. (Один-два электро­ на движутся вблизи наружной части атома, где поле ядра почти полно­ стью экранировано. Поэтому размеры всех атомов близки друг к другу.) Пренебрегая кулоновским взаимодействием электронов друг с другом, оценить величину R.

7.3 Вычисление интеграла с f(e)

В дальнейшем нам неоднократно придется вычислять интегралы, со­держащие произведение плавно изменяющейся функции Т(е) на функ­цию

лишь слегка сглаженную "ступеньку":

00

/= Г f(e)F(e)de

о Покажем удобный способ приближенного вычисления такого интеграла.

ствлен в теорииферми-жидкости Ландау. Оказывается, что для некоторых явлений вклад взаимо­действия исчезает, для других — видоизменяет результаты. Есть и такие явления, которые целиком обязаны своим возникновением взаимодействию.

Кроме того, взаимодействие электронов (через посредство кристаллической решетки) может при­вести к появлению сверхпроводимости. Теории сверхпроводимости мы также не касаемся.

67

Основной вклад дает интегрирование с заменой f(e) на "ступеньку"

А*

/₀= fr{e)de.

о Добавка

оо А*

/ - /о = I f{e)F{e)de - |(1 - f(s))f(s)ds,

ц О

содержит вклады "хвоста" и "дырок", причем оба эти распределения со­средоточены вблизи в = /i и почти в точности симметричны. Сделаем замены переменных, подчеркивающие это: г = fi+Tx в первом интеграле и г = /i — Тж — во втором:

оо /

Г Т{у + Tx)dx Г Т{у - Tx)dx

° J e^x + l J е^х + 1

о о

Теперь, имея в виду условие [i ^$> T, заменим предел интегрирования во втором интеграле на сю; экспонента в знаменателе обуславливает бы­строе убывание подынтегральной функции с ростом Тж, поэтому можем разложить Т по Тх

± Тх) = JT(/i) ±

00

О

²⁹ тг²

Интеграл равен тг /12, так что окончательно

оо А*

/= [ f(_£)T(e)de= [V(e)de +