5.2.2 Шары в пенале

Шары были помещены в узкий "пенал" (Рис.2) так, что движение их в направлении поперек оси пенала было очень стеснено. Центры шаров мо-

Рис. 5: Шары в пенале. Пунктиром показана область, доступная центрам шаров; на других рисунках она изображается сильно растянутой в вертикальном направ­лении.

гут двигаться в узкой области вблизи оси пенала. Выводя на экран через равные промежутки времени движения положения центров шаров, мы получаем представление об их распределении в пространстве. Распреде­ление по координатам оказывается неравномерным (рис. 2).

Рис. 6: Сверху — область, выделенная на рис.1 пунктиром, со следами центров шаров. Снизу — гистограмма и теоретическая зависимость р(х). Тут же показано распределение для одного (второго) шара.

Заметим, что распределение по координатам для шаров в узком пена­ле фактически совпадает с тем, какое получается при движении вдоль одной прямой ²⁷.

Далее речь пойдет об условиях, когда можно с хорошей точностью рассматривать просто движение шаров вдоль оси этого пенала. Компо­ненты скорости v_x будем в дальнейшем называть просто скоростями. Удобно ввести новые координаты

= X_k-(2k-l)R,

(2)

²⁷ В отличие от этого распределение по скоростям при переходе от одномерного движения к дви­жению в узком пенале чрезвычайно усложняется.

53

исключая участки оси Х_: недоступные для центров шаров (см. рис.5.).

Рис. 7: Переход от координат X к координатам х, позволяет исключить области оси, занятые телами шаров.

Здесь к - номер шара, п - число шаров, R - их радиусы. Эти коорди­наты удовлетворяют условиям

О

< х\ < Х2 < ... < х_п <

(3)

где

l = L_x- 2nR. (4)

В этих координатах движению шаров отвечает движение непроницаемых точек вдоль прямой х.

Для движения одного шара [п = 1) все значения координаты х\ в пределах 0 < х\ < I равновероятны, вероятность обнаружить шар на участке (ж, х + dx) равна

dx dw = —, 1 = L_x- 2R.

V

(5)

Если положение шара изображалось N раз, то на интервале dx окажется около

dN = Ndw (6)

точек. Число точек на единицу длины (далее называемое концентрацией) р(х) = dN/dx = N/l.

Переходя к движению многих шаров, заметим,что при столкновении пары шаров друг с другом они обмениваются скоростями. Это означает, что в координатах Х{ точки, отвечающие центрам шаров, движутся так, будто бы прошли друг сквозь друга. При столкновениях шары передают

54

вдоль цепочки определенные значения скоростей (как бы обмениваясь эстафетными палочками). Отмечая же следы всех шаров, мы отмечаем в сущности следы этих "палочек", каждая из которых движется со своей постоянной скоростью, отражаясь от стенок.

Сначала рассмотрим движение пары шаров, которое можно представ­лять очень наглядно.

Для пары шаров условие

О < х\ < Х2 < I

выделяет на плоскости х\, х^ треугольник О ВС (рис. 6).

(7)

Рис. 8: Точка А на плоскости х±,Х2, изображающая движение пары шаров, и точка А', отвечающая движению шаров, пронумерованных в обратном порядке, движут­ся симметрично относительно диагонали квадрата ОС. Их следы в совокупности равномерно заполняют весь квадрат.

В результате треугольник ОС В окажется равномерно заполнен точ­ками.

Поэтому число точек, для которых координата х\ лежит в интервале (ж, x-\-dx)_: пропорционально площади узкой трапеции (рис.7), вырезаемой в треугольнике ОС В границами этого интервала

ds pa -{I — x)dx

(8)

(при малых dx). Вероятность того, что координата лежит в этом интер-

55

х х + dx x\

Рис. 9: Вероятность того, что х\ G (x,x + dx), пропорциональна площади выделен­ной трапеции.

вале

ds

x\ dx

(9)

Итак, при движении двух шаров концентрация следов одного из них линейно убывает при удалении от стенки. Компьютерный эксперимент отлично подтверждает этот вывод (рис.2). Для второго шара распреде­ление симметрично

=11 —

1-х

xdx

(10)

Возвращаемся к случаю, когда движется го шаров.

Будем рассматривать наряду с нашей "цепочкой" шариков, отвечаю­щей условию (3), еще (го! — 1) цепочек со всеми другими возможными вариантами нумерации шариков. Координаты всех го!го шариков в про­цессе движения равномерно заполнят объем го-мерного куба с ребром I.

На систему шаров с "правильным" порядком номеров (3) приходится объем

Vnil) = lⁿ/n\ (12)

"Сечение" го-мерной "пирамиды" (3) плоскостью х_п = х представ­ляет собой (го — 1)-мерный объем, равный v_n-i(x_n). Действительно, за­фиксировав положение го-го шара, мы оставляем для остальных (го — 1) участок пенала длины х_п. Таким образом условию х_п Е (ж, х + dx) отве­чает объем

dv = v_n_\(x)dx (18)

56

и вероятность

dv fx\ⁿ~^l dx

dw_n = —7- = n[-) —. (19)

Для первого шара подобным же образом,

v_n_\(l — x)dx ( x\ⁿ~^l dx

V_n{l)

( x\ⁿ~^ldx =nfl--J —. (20)

\ I/ I

Если зафиксировать положение fc-го шара, х^ = х, то к — 1 шар будет двигаться по участку длины х с одной стороны от этого шара, а п — к шаров — по участку длины 1-х — с другой. Поэтому вероятность того, что Хк £ (х, х + dx) равна

^к~¹ ( х\^п~^к 1

" ⁼ Ш ⁼ (fc-l)I(n-fc)! \V 1¹ " V Г'

(21)

Пусть на экран компьютера N раз выводились точки, изображающие положение центров шаров. Концентрация (линейная) таких точек для fc-ro шара

Отметим, что суммарная концентрация точек на осих

п

1 N ^ £ ₍,__1)|(n__fc)/V у(р + _?)¹ = у

(23) (здесь р = x/l, q = 1 — ж/£) не зависит от ж.

Теперь остается только вернуться к координатам Х^ с помощью фор­мул (2).

На рис. 11,12 сопоставляются полученные кривые и результаты ком­пьютерного эксперимента.

Естественно, распределение значительно изменяется, если выбрать бо­лее короткий пенал.

При п ^> 1 для первого шара получаем

pi(fc) и —е"5, (24)

где а = —Ц- « -— средняя длина отрезка оси ж, приходящаяся на один

7i -L ль

шар.

57

Рис. 10: Сравнение теории с данными компьютерного эксперимента для семи ша­ров. Между шарами значительные промежутки.

Рис. 11: Сравнение теории с данными компьютерного эксперимента для семи ша­ров, уложенными почти вплотную друг к другу.

Среднее расстояние между шарами а = 1/{п + 1), среднее значение координаты fc-ro шара

(Х_к) = (х_к) + (2fc - l)R = ка + (2fc -

(25)

С помощью (20) нетрудно найти средний квадратичный разброс коорди­наты

{{АХ_к)²) = а²к{п + 1 - к)/(п + 2). (26)

При достаточно большом числе шаров разброс координат шара, удален­ного от края, АХ ~ аук и намного превышает среднее расстояние меж­ду центрами соседних шаров а + 2R. Вдали от края осцилляции распре­деления сглаживаются.

58