4.3 Тепловой эффект реакции

В процессе химической реакции выделяется или поглощается тепло. Как его рассчитать? Количество тепла (для определенности рассматри­ваем процесс, протекающий при постоянном объеме и заданном значе­нии температуры) равно изменению энергии смеси²⁵ SQv = SE и может быть выражено через изменение свободной энергии, а в конечном счете — через "константу" химической реакции. Учитывая, что Е = — запишем

яп т* ^{д SF} SQv = -T ——.

Для изменения свободной энергии имеем

5F = -5N₀^ v_ilH = -5N₀^ vi (-Tin

= -T²SN₀-^\nK_v.

Изменение условий равновесия с температурой различно для тех реак­ций, в которых тепло выделяется, и тех, в которых — поглощается.

В случае, если можно считать постоянными теплоемкости газов, за­дача о выделении тепла решается еще проще: энергия выражается как

Е = так что

SQ = -SNq ) Pi(c_ViT + £_oi)

^2БРеакция - это неравновесный процесс. Изменение энтропии смеси при указанных условиях dS >

SQ

т •

47

Если реакция происходит не при постоянном объеме, а при постоянном давлении, то выделяемое тепло определяется приростом энтальпии. Задача

1. Выразить теплоемкости Су и Ср частично ионизированной плаз­мы через её степень ионизации сх(Т). Нарисовать графики Су(Т) и Ср(Т). (Считая зависимость а{Т) известной).

5 О компьютерном моделировании

Обычно в статистической физике мы имеем дело с системами, состоя­щими из огромного числа частиц. Поэтому компьютерное моделирование таких систем — дело далеко не тривиальное. Необходимым этапом явля­ется осознание результатов, понимание того, насколько модель отражает физическую реальность.

Один из очевидных способов моделирования — метод молекулярной динамики. Создается в компьютере система взаимодействующих частиц. Естественно, что для учета взаимодействия каждой из частиц с каждой из остальных требуется огромный объем вычислений. Расчеты, прихо­дится упрощать, поэтому в тонких случаях неизбежен вопрос, что при­надлежит моделируемой системе, а что — модели. Тем не менее, этот подход является одним из весьма результативных. Пример применения метода молекулярной динамики — рассматриваемый ниже газ шаров. Хотя у нас он выглядит как чисто учебный, есть немало научных работ, основанных на исследовании такого газа.

Основные же методы включают существенно статистическое модели­рование, обычно с использованием датчиков случайных чисел. О них немного будет сказано далее.

5.1 Задача о компьютерном газе биллиардных шаров 5.1.1 Распределение шаров по скоростям

В практикуме "Моделирование физических явлений" (на первом кур­се) изучался двумерный газ абсолютно упругих шаров. При движении шаров сохраняется энергия

48

Для достаточно просторного биллиарда распределения в пространстве и в импульсном пространстве можно считать независимыми. В импульс­ном пространстве движение происходит на сфере, а точнее — в слое ма­лой толщины, определяемой неточностью в сохранении Е. Для компью­терного газа шаров эта неточность определяется округлением значения энергии 5Е и очень мала (Щ- ~ 10~⁸). Объем этого слоя равен

Y_N(E) = Г(%2 е<Е)- Г(%2 €<Е-5Е) =

= A_N(E^N -(Е- SE)^N) и A_NNE^N~^l5E.

(Множитель, отвечающий движению в обычном пространстве, включен в Лдг). Распределение по импульсам можно представить, если угодно, в форме²⁶

— -E\ d²_Pld²p₂...d²pN-

Чтобы найти распределение по энергиям для одного шара, будем дей­ствовать так же, как при выводе распределения Гиббса. Задаем энергию одной частицы е и находим фазовый объем, заполняемый при движении всех [N — 1) остальных.

[В — множитель, не зависящий от е). Выписанный фазовый объем и определяет вероятность состояния выделенного шара. Если учесть еще, что для одного шара элемент фазового объема пропорционален d²p ос cfe, то получаем распределение вероятностей по энергии

Т-2

de.

(постоянная определена условием нормировки). При малых значениях N распределения совсем не похожи на максвелловское. Компьютерный эксперимент полностью подтверждает наши выкладки.

Для пары шаров распределение в плоскости р_х,р_у — равномерно за­полненный круг.

Интересное явление обнаружила, выполняя работу в практикуме "Мо­делирование", студентка Олеся Шурыгина. Если поместить пару шаров

²⁶Т.е. принять толщину "энергетического слоя"6Е равной нулю (точнее говоря, считать ее пре­небрежимо малой в сравнении со всеми рассматриваемыми интервалами энергии).

49

на равных расстояниях от противоположных стенок и задать им такие начальные скорости, чтобы было р\_х + р_2х = 0, то распределение в плос­кости (р_х:Ру) оказывается анизотропным.

Чтобы вывести это распределение, учтем, что связывающее скорости шаров условие не нарушается ни при их столкновениях друг с другом, ни при столкновениях их со стенками. С учетом этого дополнительного закона сохранения функция распределения может быть записана в виде

5(_Plx + P2_X)dpi_xd_Plydp_2xd_P2y.

После интегрирования по р_2х получаем

d_Plxd_Plydp_2y

— в пространстве (pi_X:Piy:P2_y) равномерно заполняется поверхность эл­липсоида

Е 2тЕ 2тЕ

2 2

тЕ 2тЕ 2тЕ сплюснутого в направлении оси р\_х. После интегрирования по р_2у полу­чаем проекцию этого эллипсоида на плоскость (pi_x,pi_y) — внутренняя часть эллипса, заполнение которого резко растет по мере приближения к его контуру. Нормированное распределение

dp_xdp_y dw =

Заметим, что подобное же условие возникает, если биллиард, по ко­торому движутся шары, "склеить", образовав цилиндр. И в этом случае изменяется функция распределения. Например, при наличии в началь­ном состоянии потока частиц в направлении окружности цилиндра этот поток сохраняется. Такие распределения встречаются в физических за­дачах, но мы ими сейчас больше заниматься не будем.

Если г < Е, то

N -1 e(N-2)

dw = ———е ^Е de_: Е

это больцмановское распределение с температурой Т = д^-

Пусть два одинаковых шара движутся в кубе. Остановимся сначала на таком особом случае, когда они движутся симметрично относительно

50

центра куба. В этом случае из условий pi + р₂ = 0, Pi + р². = 2тЕ следует, что в импульсном пространстве их координаты заполняют по­верхность сферы р² = тЕ. На рис.2А мы видим проекцию точек, рав­номерно разбросанных по поверхности сферы, на плоскость (р_х,р_у)-

На рис.2В представлен общий случай движения пары шаров — про­екция на плоскость (р_х:р_у) точек, равномерно разбросанных по поверх­ности 5-мерной сферы в б-мерном пространстве.

На рис.2С представлен результат моделирования движения девяти шаров по плоскому биллиарду (соответствующий движению в кубе ше­сти шаров с той же средней энергией, что и в случаях А и В) — проек­ция на плоскость (р_Х:р_у) точек, равномерно разбросанных по поверхно­сти 17-мерной сферы. С увеличением числа шаров происходит переход к распределению Максвелла. Рис.2С при этом практически не изменится, только появится отличный от нуля, но весьма слабо выраженный "хвост", на рисунке все равно не помещающийся.

Г	Ру \ 'Д
V,	V

в

#*■•■

-?*" Их

J•

Рис. 3: Распределения по импульсам для шаров в кубе. А — пара шаров, шары дви­жутся симметрично, так что pi + р₂ = 0. В — пара шаров, добавочного интеграла движения нет. С — шесть шаров.

Для настоящего газа неточность определения энергии SE хотя и мала, тем не менее Щ ^> j^. Поэтому выражение для Гдг(Е') преобразуем не путем разложения по 5Е_: а иначе:

е<Е-8Е) = A_NE

и A_NNE^N{1 - e~^^N) и A_NNE^N.

Это означает, что объем слоя с высокой степенью точности совпадает с объемом iV-мерного шара и фазовый объем перестает зависеть от тол­щины энергетического слоя. Задача

51

1. Найти распределение по "высоте" шаров на наклонном биллиарде, принимая, что размеры шаров невелики и что шары в своем движе­нии не достигают верхнего бортика.

5.2 Распределение по координатам 5.2.1 Шары на просторном столе.

Начнем с наблюдения за движением одного шара на просторном сто­ле. Движения шара в направлениях, параллельных сторонам биллиарда, независимы. Траектория окажется замкнутой, если отношение периодов движений в этих направлениях (L_x — 2R)/v_x и (L_y — 2R)/v_y - число рациональное. (Здесь L_x,L_y - размеры стола, R - радиус шара, v_x,v_y -компоненты скорости шара). Если же это отношение иррационально, то траектория центра шара заполняет всюду плотно всю доступную область стола

R < X < L_x - R, R <Y < L_y - R, (1)

(Рис.1),т.е. проходит рано или поздно через любой, даже очень малень­кий кружок, лежащий в этой области.

Рис. 4: Если траектория не замкнутая, то точка, отражающаяся от сторон пря­моугольника, пройдет через любой круг, лежащий внутри него.

При движении нескольких шаров по большому столу столкновения происходят лишь изредка, отношение периодов изменяется, чаще все­го оказываясь иррациональным. Следы центров заполняют стол всюду плотно. То же получится, если отмечать при этом следы центра лишь одного шара.

52