2.4 Отсутствие магнетизма классического газа. Диамагнетизм Ландау

Рассмотрим газ заряженных частиц, находящийся в состоянии равно­весия в некотором объеме. Статистическая сумма частицы

z = [ e-^H^^r»^Td³pd³r. Гамильтониан частицы в магнитном поле

Сделаем замену переменных:

Р = р--А.

с

При этом статистическая сумма принимает вид

z =

J

и не зависит от магнитного поля. Вместе с ней не зависят от наличия поля и термодинамические функции. Классический газ заряженных частиц не является магнетиком. Это теорема Бора- ван-Левен.

Если же учесть отличие от классического приближения — дискрет­ность уровней энергии для движения поперек магнитного поля, — то магнитные свойства появляются.

Напомним, что уровни энергии заряженной частицы в однородном магнитном поле 7{, направленном вдоль оси z, равны

р^ / 1\ еП

^£n,_Pz = ^7 + Аго; ( n + - ) , где и = —, п = 0,1, 2,...,

Ь Ьш [п + - , где ш= —,

36

2т \ 2/ тс

и имеют кратность вырождения, не зависящую от п. Поэтому вклад в статистическую сумму движения в направлении, перпендикулярном маг­нитному полю, равен

9

exp

00

, где /i =

0-.- v ^ J ^ ^г~^г "■"■- \ Ж~™> I Ы I -*- I " * ' ('*->

При Т ^> iiH получаем, z± = #Т/2//Н, что должно совпадать с клас­сическим значением, и, в частности, не должно зависеть от ^ГН,. Поэтому д = д"Н, где д от 7{ не зависит.

Зависящий от 7{ вклад в свободную энергию газа из N частиц равен

F_n = -NT\n ^U

а магнитный момент

При Т ^> //?{ получаем М = —Nfj,^2/H/ST. Как и следовало ожидать, в пределе Т —> сю магнитный момент обращается в нуль. Однако найден­ная здесь величина М сопоставима с найденным ранее эффектом поля­ризации спинов.

Это диамагнетизм, обнаруженный Ландау. Этот диамагнетизм на ^ компенсирует парамагнетизм Паули. Так же обстоит дело и для случая, когда электронный газ подчиняется не распределению Больцмана, а рас­пределению Ферми.

Задача

1. Больцмановский газ заряженных частиц находится в поле U = \тпиР") и постоянном однородном магнитном поле, направленном по оси z. Пренебрегая взаимодействием зарядов между собой, найти маг­нитный момент газа. Выразить магнитную восприимчивость при Т < hcj и при Т > Ни.

3 Большое каноническое распределение Гиббса

3.1 Некоторые условия равновесия

Пусть тело в термостате имеет температуру термостата, но находит­ся поначалу само по себе в неравновесном состоянии (характеризуемом

37

каким-то параметром ж), а затем переходит к равновесному состоянию. При таком переходе должна возрастать полная энтропия замкнутой си­стемы — тела и термостата:

*~>полн — *~>0 ~Ь *~>5 ^*~>полн ^ U.

Это условие неудобно для расчетов, так как для его использования надо было бы знать энтропию термостата. Используя тот факт, что в течение всего процесса установления равновесия термостат пребывает в равно­весном состоянии, можно преобразовать это условие к такому виду, что в него будет входить только температура термостата.

Происходит обмен теплотой между телом и термостатом

₀,

причем состояние термостата остается равновесным, так что изменение его энтропии

= 5Q = -АЕ

отсюда

АЕ T₀AS - АЕ А{Е - T₀S)

'полн

Г_о

ASL™ = AS -

То

Итак, AF(T₀, V, х) < О при Т_о = const, V = const: если тело находит­ся в термостате и над ним не совершается работа, то прочие макроско­пические параметры, определяющие состояние тела, приходят к таким значениям, при которых свободная энергия минимальна.

Рассмотрим еще одну задачу: термостат является одновременно и ба­ростатом, тело может изменять объем — найти условия равновесия. Мож­но было бы решить ее почти так же, как первую. Продемонстрируем дру­гой способ, сходный с рассуждениями при выводе канонического распре­деления.

Вероятность определенного квантового состояния тела, при котором его объем равен У, а энергия — Е определяется статистическим весом состояний термостата:

ттт О V полн -'-^/ 5 * полн * /

^W»= T IE \Г^—^хе

^х полн у -'-'полн 5 'полн/

38

Разлагаем энтропию термостата

= So(E_noJlll, Коли) — ^ т—I- •••

(Использовали равенство (Цм = |К которое следует из dE = TdS — PdV). Тогда

W{E_: V) ос e^s+So ос e^s

Отсюда следует, что в состоянии равновесия величина Е + PqV — TqS имеет минимум. Вспомним потенциал Гиббса:

Ф(Г, Р, х) = Е + PV - TS

Условие равновесия

д

дх

Рассмотрим теперь задачу о равновесии двух тел, которые могут об­мениваться друг с другом частицами (молекулами). При каком условии будет соблюдаться динамическое равновесие — равенство прихода и ухо­да частиц от одного тела к другому? Будем считать для определенности, что оба тела находятся в термостате и объемы их фиксированы. Парамет­ром, задающим частичное равновесие в этом случае естественно считать число частиц N\ в одном теле, изменения чисел частиц в обоих телах связаны друг с другом: dN% = —dN\. В таких условиях должна быть ми­нимальной суммарная свободная энергия F = Fi(T, Vi, Ni)+F(T, V2, N₂) по отношению к варьированию N\ : -щ- = 0. Это условие дает

(dF\

Ml = М2, где fj, = I — )

\dN)_TV

— химический потенциал тела.

Химический потенциал по отношению к обменам частицами играет роль, аналогичную роли температуры по отношению к обмену теплом: направление потока частиц — от тела с большим химическим потенциа­лом к телу с меньшим.

С учетом зависимости свободной энергии от числа частиц полный дифференциал ее dF = —SdT—PdV+ndN. Перейдя к потенциалу Гибб­са, Ф(Г, Р) = F+PV = N<p(T, Р), ²² получим йФ = -SdT+VdP + fidN.

²² Здесь подразумеваается, что все частицы тела одинаковы, например, все — молекулы воды.

39

При дифференцировании по N получим /j, = <р(Т, Р), т.е. химический по­тенциал — это потенциал Гиббса в расчете на одну частицу, причем он не зависит от количества вещества (является, как говорят, интенсивной переменной). В этом отношении он тоже схож: с температурой.