Лекція 19.20 магнітне поле у неферомагнітному середовищі

1. Основні поняття і характеристики магнітного поля.

2. Робота сил магнітного поля.

3. Закон Біо - Савара. Закон Ампера.

4. Закон повного струму. Намагнічуюча сила.

5. Магнітне поле провідників зі струмом.

6. Магнітне поле кільцевої котушки.

7. Потокозчеплення. Індуктивність.

8. Взаємо індуктивність. Коефіцієнт магнітного зв'язку.

Дом. завд. [1] стор. 128 - 137, 141 - 144, зад. 8.2; 8.5.

[1] стор. 137-141, 144 - 152. зад. 8.12; 8.18.

1. Магнітне поле один з видів матерії, яка має певну енергію. Як і будь -який вид матерії, магнітне поле утворюється тільки за рахунок інших видів матерії, підпорядковуючись закону зберігання енергії.

Магнітне поле - одна з двох сторін електромагнітного поля, яка характеризується дією на електричне заряджену частинку з силою, пропорційною заряду частинки та її швидкості.

Для зображення напряму дії магнітного поля користуються магнітними силовими лініями.

Магнітні силові лінії прямолінійного провідника зі струмом мають форму замкнених концентричних кілець, розташованих навколо провідника в площині, перпендикулярній провіднику.

Магнітне поле в даній точці діє по дотичній до магнітної силової лінії, яка проходить через дану точку.

Напрям дії поля прямолінійного провідника зі струмом можливо визначити за правилом правого гвинта.

Якщо напрям поступального руху гвинта збігається з напрямом руху струму у провіднику, то обертальний рух гвинта покаже напрям магнітного поля.

Навколо котушки, по якій проходить струм, виникає магнітне поле. Напрям поля навколо котушки можливо визначити за правилом правої руки: якщо долоню правої руки з відігнутим вбік великим пальцем покласти на витки котушки так, щоб чотири стулених разом пальці показували напрям струму у витках, то великий палець покаже напрям дії поля усередині котушки.

Магнітне поле має такі властивості:

1) силові лінії поля завжди замкнені і розташовані на площині, перпендикулярній осі струму;

2) силові лінії прагнуть скоротитися, таким чином дія сил поля відбувається найкоротшим шляхом;

3) силові лінії поля ніколи не перетинаються між собою;

4) магнітне поле проникає крізь будь - яке середовище і може діяти у будь якому середовищі;

5) магнітне поле при переході з одного середовища у друге змінюється не кількісно, а якісно;

6) магнітні поля взаємодіють між собою: поля однакового напрямку відштовхуються, а різного - притягуються;

7) магнітне поле діє на заряди, які рухаються в ньому; на нерухомі заряди магнітне поле не діє.

8) зміна магнітного поля спричиняє виникнення поля електричного.

ХАРАКТЕРИСТИКИ МАГНІТНОГО ПОЛЯ

1. Магнітний потік- кількісна характеристика магнітного поля, вектор. Кількість силових ліній, які проходять крізь поверхню площиною 8, називають магнітним потоком Ф крізь дану площину. Він залежить від: а) струму у провіднику (котушці); б) форми провідника; в) середовища, в якому виникає.

Одиниця вимірювання магнітного потоку - вебер (Вб); [Ф]= 1В • 1с==1Вб .

2. Магнітна індукція- якісна характеристика поля.

Кількість силових ліній, які проходять крізь одиницю площини поверхні, розташованої нормально до поля, характеризує густину поля в даному середовищі. Величина, яка характеризує густину поля в даній точці середовища, має назву магнітної індукції. В = Ф/S.

Магнітна індукція, як і магнітний потік, залежить від: а) струму в провіднику;

б)форми провідника; в) середовища, в якому діє магнітне поле.

Магнітна індукція - це вектор, спрямований по дотичній до лінії поля у напрямку дії поля. Таким чином, напрям магнітної індукції можливо визначити згідно з правилом правого гвинта.

Одиниця магнітної індукції - тесла (Тл). [B] =1Вб/1м²= 1Тл

За допомогою векторів магнітної індукції можливо визначити однорідність або неоднорідність магнітного поля.

Одноріднимназивають таке поле, у якому вектори магнітної індукції у всії точках мають однакову величину та паралельні один одному.

Якщо вектори магнітної індукції у різних точках мають різні значення або напрями, таке поле має назву неоднорідного.

Для однорідного магнітного поля при умові, що площаSрозташована нормально (перпендикулярно) до поля:Ф =Bn*S,де Вn- вектор магнітної індукції, спрямований нормально до площі.

Якщо поле неоднорідне: dФ =Вn*dS Ф= ∫_S В *dS.

Якщо площа Sне перпендикулярна напряму поля:

Вn=В*соsα Ф=В *S соsα.

3. Напруженість магнітного поля- теоретична розрахункова величина, яка не враховує наявність середовища та його вплив.

Напруженістю магнітного поля Нназивають інтенсивність магнітного поля„ яке враховує тільки вплив струму і форму провідника. Це вектор, спрямований по напрямку дії поля. Більшість практичних розрахунків виконують, вважаючи, що векториВтаНзбігаються за напрямом.В= μ_a*Н

Одиниця напруженості магнітного поля - ампер на метр (А/м).

4. Магнітна проникність- величина, яка характеризує властивості і вплив середовища на густину магнітного поля.

Абсолютна магнітна проникність для ізотропної речовини - скалярна величина, яка дорівнює відношенню модуля магнітної індукції до модуля напруженості магнітного поля:

μ_a=B/H.

Одиниця абсолютної магнітної проникності [μ_a]=

Абсолютну магнітну проникність вакууму називають магнітною сталою

μ_O=4π*10^-7 Гн/м

Відношення абсолютної магнітної проникності до магнітної сталої має назву

відносної магнітної проникності: μ_r= μ_a/ μ_o.

Відносна магнітна проникністьμ_r -величина безрозмірна, яка змінюється у великих межах. Ця величина покладена за основу поділу усіх матеріалів і середовищ на три групи:

а) діамагнітні μ_r ≤1 (кольорові метали);

б) парамагнітні μ_r ≥1 (повітря);

в) феромагнітні μ_r >>1 (сталь, чавун, нікель, кобальт).

2 Кожний провідник зі струмом, розташований у магнітному полі, виштовхується з нього. Сила, яка діє на провідник зі струмом:

F=В*І*la*sinα

F=∫В*I*dl*sіnα

де І - струм у провіднику; 1а - активна довжина провідника; а —кут між векторами індукції і струму.

Якщо α = 90°,тоFmах=B*I*lаα=0°,то F=0,

таким чином сила діє на провідник зі струмом тільки тоді, коли він перетинає магнітне поле. Звідси можливо дати ще одне визначення магнітної індукції: магнітна індукція

чисельно дорівнює силі, яка діє на провідник довжиною 1 м зі струмом у 1 А при

умові перпендикулярності провідника силовим лініям поля

B=F/I*l

або замінивши I=Q/lтаl= σ *t

B=F/Q*σ

Магнітна індукція - силова характеристика поля.

Напрям сили, яка діє на провідник зі струмом у магнітному полі, визначається по правилу лівої руки.

Якщо долоню лівої руки розташувати так, щоб магнітні силові лінії входили в неї, а витягнуті чотири пальці відповідали напрямку струму, тоді відігнутий великий палець покаже напрям дії сили поля.

Якщо провідник зі струмом під дією сили поля переміщається на відстань h, то робота, яку виконає полеА=F*h

або А = В*І*la*h*sin α,

але l*Н =S, В*S= Ф, тобто А = І*Ф •sіn α.

Робота, яка виконується при переміщенні провідника з незмінним струмом у однорідному магнітному полі, дорівнює добутку струму на перетинає мій провідником магнітний потік.

У неоднорідному магнітному полі: dA = IdФ.

Якщо у магнітному полі розташувати контур зі струмом, то під дією сил поля він буде намагатися прийняти певне положення.

Розглядаючи замкнений контур як чотири окремих провідники, визначимо за правилом лівої руки напрям дії сил поля. Рамка буде переміщатися доти, доки не займе положення, перпендикулярне полю. При цьому потік Фс усередині рамки, який створюється струмом рамки, буде мати напрям, який збігається з основним (зовнішнім) потоком.

Таким чином, будь-який контур зі струмом, розташований у магнітному полі, під впливом сил взаємодії поля зі струмом прагне зайняти положення, при якому потік, пронизуючий контур, був би позитивним і максимальним (збігався з напрямом власного поля провідника зі струмом).

При досягненні стійкого положення контура, сили, які діють на нього, будуть прагнути деформувати його таким чином, щоб магнітний потік, який проходить крізь контур, збільшився.

З Досліди свідчать, що на кожний з двох провідників діють сили, які притягують один до одного провідники з однаковим напрямом струмів і відштовхуються з протилежними напрямами струмів.

Притягання або відштовхування провідників необхідно розглядати як результат силової дії загального магнітного поля на заряджені частинки, утворюючі струм в кожному з провідників. На кожному з провідників можливо виділити елемент лінійного струму -добуток Іdl, деdl- довжина ділянки провідника зі струмом І, дуже мала (як і діаметр провідника)упорівнянні з відстанню від нього до точок, у яких розглядається магнітне поле струму І.

Згідно з законом Ампера

Величина сили взаємодії між двома елементами лінійних струмів у вакуумі пропорційна добутку цих елементів та обернено пропорційна квадрату відстані між ними.

dF_M= (*)

З виразу (*) можливо визначити силу дії поля першого елемента струму на одиницю елемента другого струму, що є магнітною індукцією поля першого лінійного елемента у точках другого елемента струму:

(**)

Формула (**) є математичним виразом закона Біо-Савара.

Користуючись законом Біо-Савара, визначимо магнітну індукцію в центрі витка зі струмом,

Відстань від будь-якої ділянки провідника до точки А дорівнює радіусу кільця, а кут між дотичною до цієї дільниці і радіусом α= 90°.

Напрям dB=абоB=,

оскільки зміна довжини провідника відбувається по всьому кільцю l= 4πr, то

B= деD- діаметр кільця.

Якщо маємо маємо декілька витків (котушка) зі струмом індукція у центрі витків В =, де ω - кількість витків котушки.

4 Припустимо, що крізь якусь замкнену поверхню, обмежену магнітною силовою лінією, яка розділена на окремі елементи Δl, проходять три провідника зі струмом.

Кожний провідник створює в точках (елементах Δl) контура свою напруженість магнітного поля, а разом вони створюють результуючу напруженість Н, вектор якої можебутиспрямованим під будь-яким кутом до даного елемента.

Проекція вектора напруженості магнітного поля на лінію елемента контуру має назву потенціальної складової вектора напруженості Нt.

Головним струмомвважають алгебраїчну суму струмів, які пронизують поверхню, обмежену будь-яким замкненим контуром вектора індукції визначаємо за правилом свердлика

Знак струму вважають позитивним, якщо напрям ліній індукції магнітного поля даного струму, визначений за правилом свердлика, збігається з умовно обраним напрямом обходу контуру.

Для котушки: ∑Ik=I1+I2+I3+I4,оскільки І1=I2=I3=I4 то∑I=I*N,

таким чином для котушки повний струм дорівнює добутку струму котушки на кількість їївитків. Такий добуток має назвуампервитківабо намагнічуючої (магніторушійної) сили. Магніторушійна силаF = I • N

Для технічних розрахунків необхідно виявити зв'язок між напруженістю або індукцією поля та струмом, який утворює це поле. Такий зв'язок дає закон Біо -Савара, але значно простіше визначити його згідно з законом повного струму.

Повний струм дорівнює сумі добутків складової напруженості поля, яка діє уздовж лінії контуру, на елемент довжини цього контуру:∑I =∑Нt * Δl.

У інтегральній формі ∑I= ∫Нtdl

Якщо магнітна силова лінія паралельна контуру, який розглядається, то вектор напруженості поля спрямований по дотичній до лінії поля (ліній контуру). Таким чином Нt= Н, ΔI= ∫Нdl

Але між напруженістю поля Н і магнітною індукцією В є залежність В = μ_a Н або у повітрі

В= μ_o Н

Звідси μ_o∑I=. Виразпо всьому замкненому контуру має назвуциркуляції вектора магнітної індукціївздовж даного контуру.

Закон повного струму буде мати вигляд: циркуляція вектора магнітної індукції вздовж довільного замкненого контуру пропорційна повному струму, який пронизує поверхню, обмежену цим контуром.

=μ_o∑I

Знак Вdlвважають позитивним, якщо для даної точки напрямBt збігається з напрямом обходу контуру.

У випадку однорідного середовища значення напруженості та магнітної індукції для всіх точок контуру одне і те ж. ∑І = Нl, μ_o∑І = Вl.

Для котушки, коли ∑Ik=INформулу можна записатиIN= Нl, μоIN⁼Bl. Цей вираз встановлює зв'язок між струмом котушки, кількістю провідників, що створюють магнітне поле, та йо напруженістю або магнітною індукцією.

5 Закон повного струму дозволяє визначити напруженість магнітного поля у будь - якій точці як усередині, так і зовні прямолінійного провідника зі струмом.

Визначимо напруженість в точці А, віддаленій від центру прямолінійного провідника зі струмом на відстань х.

1. Х > r_о

Умовимося вважати магнітну силову лінію, яка проходить крізь точку А, як замкнений контур навкруги провідника. Вектор напруженості діє вздовж цього контуру Н=Нt

Згідно закону повного струму ∑I= НІ

або Н = ∑I/l. Для прямолінійного провідника ∑I= І,а довжина контуру l= 2πх, тобтоH=I/2πx.

μ_oH=μ_oI/2πx; B= μ_oI/2πx

Напруженість (магнітна індукція) поля обернено пропорційна відстані від обраної точки до центра провідника. Напруженість поля максимальна при найменшій відстані, тобто на поверхні провідника:

Hmax=

Напрям напруженості поля визначається за правилом свердлика S- площа поперечного перерізу провідника;

S’ - площа, обмежена магнітною лінією, проведеною крізь точку А.

Магнітна силова лінія, проведена крізь т. А, є замкненим контуром, тобто Н =Нt, алене охоплює весь переріз провідника, отже неповний струм провідника. Припустимо, що струм розподілений рівномірно по всьому перерізу провідника, тоді густина струмуJ=I/S=

Повний струм, який пронизує контур S’

Згідно з законом повного струму І' =Нl,оскількиl= 2π*х,то

H=; B=

Напруженість (магнітна індукція) поля усередині перерізу прямолінійного провідника змінюється прямо пропорційно відстані від центру провідника (Н = k*х).

Напруженість (магнітна індукція) поля усередині перерізу максимальна при x=r_o , Hmax=

З Для визначення результуючого поля двох провідників зі струмом скористаємось принципом накладання. Величину і напрям напруженості магнітного поля у будь-якій точці поля, створеного струмами двох провідників, можливо визначити, сумуючи вектори напруженості у кожній точці:

H=H1+H2

Графіки зміни загальних полів.

Визначимо сили взаємодії двох однакових по довжині провідників, ураховуючи, що провідник зі струмом її опиняється в магнітному полі провідника зі струмом І2.

Напрям векторів магнітної індукції визначаємо по правилу правого гвинта, напрям сили взаємодії магнітного поля зі струмом - по правилу лівої руки.

Сила дії першого провідника на струм другого F₁₂=В₁*І₂1sіnα.

Аналогічно сила дії поля другого провідника на струм першого F₂₁=В₂*І₁1sіnα.

Магнітні індукції визначимо згідно закону повного струму при х=а:

B1=μ_a; B2=μ_a;

Підставимо значення індукції у вираз для сил дії полів, вважаючиа=90°, отримаємо:

F₁₂=μ_a; F₂₁=μ_a

Ці сили кількісно дорівнюють одна одній (F21⁼F12), тобто

F=μ_a6На практиці часто використовують котушки, намотані рівномірною густиною на кільце або циліндр.

Визначимо напруженості магнітних полів у різних точках котушки:

1 В точках, розташованих усередині котушки, тобто при х < R1, Н=0, оскільки струм в контурі відсутній ∑I= 0.

2 В точках розташованих між витками у об’ємі стержня, тобто при R1<x<R2, можливо записатиIω=Hl абоH=I*N/l, для точки Аl=2πx:

H=I*N/2πx

Напруженість максимальна в точках, які розташовані на колі з радіусом R2

3 У точках, розташованих за межами за межами котушки прих≥R2,Н=0, оскільки ∑I= 0 (з одного боку витка струм є вхідним, а з другого - вихідним).

Циліндричну котушку можливо розглядати як кільцеву з нескінченно великим радіусом, у якого обмотка розташована тільки на частині осердя.

Напруженість поля на осьовій лінії такої котушкиH=Iω’/l’ , деω’ – кількість витків розглядаємо ділянки. Цей вираз є приблизним, оскільки у цьому випадку витки розташовані не по всій довжині котушки.

Точніше напруженість магнітного поля в т. А на осі котушки скінченої довжини визначають по формулі:

Н=(cos β₁+ cos β₂)

7Навкруги будь-якого провідника (витка) зі струмом виникає магнітний потік. Якщо потік створюється декількома витками, то повний потік можливо визначити принципом суперпозиції як суму потоків, створених кожним витком:

∑Фк =Ф1+Ф2+Ф3+…

Оскільки витки котушки мають однакову форму, а струм у них спрямований у один бік, то повний потік котушки:

∑Фk=ω*Ф=N*Ф

Добуток кількості витків та зчепленого з цими витками магнітного потока має назву потокозчеплення ψ:

N*Ф=ψ.

Потокозчеплення, як і магнітний потік залежить від :

а) струму в котушці;

b) кількості витків;

с) форми провідника;

d) середовища, в якому створюється магнітний потік.

Одиниця вимірювання потокозчеплення - вебер (Вб).

Потокозчеплення прямолінійного провідника або замкненого одиничного контура кількісно дорівнює магнітному потоку (N= 1).

Якщо провідник або контур розташовані у не феромагнітному середовищі, то потокозчеплення пропорційне струму:

ψ=L*I

де L- коефіцієнт пропорційності.

L- індуктивність, характеризує форму провідника і середовище, в якому виникає магнітний потік - це параметр котушки, який не залежить від струму. Одиниця вимірювання індуктивності - Генрі:

[L]=Гн =1Oм* 1с.

1 Визначимо вираз для індуктивності котушки, вважаючи, що індукція у кожній точці усередині однакова:

L= (*)

Згідно з законом повного струму:

I*N=H*l або H/I=N/l

Підставимо отриманий вираз у формулу (*): L==μ_a- індуктивність котушки.

2 Індуктивність двох провідної лінії

Припустимо, що струми у провідниках рівні за величиною, але протилежні за напрямками. Обидва провідника зі струмами утворюють магнітні потоки, які мають однакові напрями в усіх точках між провідниками.

Фзаг=Ф1+Ф2=2Ф.

Оскільки по провідникам проходять однакові струми, то дану лінію можливо вважати як один замкнений контур з N=1.

Індуктивність такої лінії L==

Виберемо елементарну ділянку зі сторонами 1 і dх.

При цьому dФ=B-Ds=B* l*dx , оскількиB=μ_a,тоdФ= μ_a*l*dx

Ф=∫ Dф= μ_a*l ∫dx

Змінна х міняється від до х = а-r₀ , тому

Ф= μ_a μ_a(ln(a- r₀)- ln r₀) = μ_a μ_a (m.k.r₀<<a)

Звідси L=.

8 Якщо дві котушки (два контури) зі струмами розташовані поблизу одна від одної, то частина магнітного потоку першої котушки пронизують витки другої і навпаки.

Утворюються потокозчеплення між частинами потоку однієї котушки і витками іншої.

Ф₁- потік першої котушки;

Ф₂- потік другої котушки;

N₁, N2 - кількість витків відповідних котушок;

Ф₁’ -частина потоку першої котушки, яка

пронизує витки другої котушки;

Ф₂’- частина потоку Другої котушки, яка пронизує витки першої котушки.

Ф₁*N₁⁼ψ₁₁ - власне потокозчеплення котушки;

Ф₁’*N₂= ψ₁₂- часткове потокозчеплення між частиною потоку першої котушки з витками другої;

Ф₂*N₂⁼ψ₂₂; Ф₂’*N₁= ψ₂₁.

Якщо котушки розташовані у не феромагнітному середовищі і не мають осердя, то часткові потокозчеплення пропорційні своїм струмам:

ψ₁₂=M₁₂*I₁; ψ₂₁=M₂₁*I₂

де М₁₂, М₂₁- коефіцієнт пропорційності;

М₁₂=М₂₁=М - взаємна індуктивність двох котушок.

Взаємна індуктивність визначає взаємну конструктивну характеристику котушок і середовище, в якому діє магнітний потік зв'язку.

Одиниця взаємо індуктивності (Гн).

Дві котушки (два контура), зв'язані між собою магнітними потоками називають магнітозв'язаними.

Для оцінки магнітного зв'язку двох контурів використовують коефіцієнт зв'язку - середньо геометричне значення відносних величин потоків зв'язку:

k=

Якщо виразити ці величини через індуктивність і взаємо індуктивність, то:

Ф₁’=M*(I₁/N₂); Ф₂’= M*(I₂/N₁); Ф₁=L₁*( I₁/N₁); Ф₂=L₂*( I₂/N₂);

K=

К завжди менший ніж 1, оскільки Ф₁’< Ф₁; Ф₂’<Ф₂

У системі магнітозв'язаних контурів або котушок розрізняють згідне і зустрічне підключення.

Якщо напрями намагнічуючих сил двох котушок, визначений за правилом свердлика, збігаються, то підключення згідне. Якщо напрями не збігаються - підключення зустрічне.

Для зміни напрямку намагнічуючої сили котушки можливо змінити або напрям струму, або напрям ходу витків.

Якщо необхідно отримати котушку, яка не має індуктивності, використовують біфілярну котушку, виконану провідником, складеним вдвічі.