Лекція 13 Електростатичні електричні кола

1. Електрична ємність.

2. Ємність плоского конденсатора.

3. Ємність циліндричного конденсатора

4. Ємність відокремленої кулі.

5. Ємність двох провідної лінії.

6. Послідовне з'єднання конденсаторів з ідеальним діелектриком.

7. Паралельне з'єднання конденсаторів.

8. Змішане з'єднання конденсаторів.

9. Зміна електричного поля на межі двох середовищ. Дом. завд. [1] ст. 117-128 зад. 7.11, 7.14.

1 Пристрій, який складається з двох провідників будь-якої форми, розділених діелектриком, називають конденсатором.

Провідники конденсаторів, які називають обкладками, мають форму плоских пластин, циліндрів, секторів і тому подібне. Діелектрик - спеціальна маса, трансформаторна олія, парафінований папір, повітря і т. п.

При підключенні конденсаторів до джерела на їхніх обкладках накопичуються електричні заряди, рівні за величиною, але зворотні по знаку. На обкладці, приєднаній до позитивного полюса джерела, накопичуються позитивні заряди +Q, на обкладці приєднаній до негативного -Q.

Досвід показує, що величина зарядів Q, накопичених на будь-якій з обкладок конденсаторів, пропорційна напрузіUяка підводиться до конденсатора, площі поверхні однієї обкладкиS, абсолютній діелектричній проникності ε_a діелектрика, який розділяє обкладки, і обернено пропорційна відстаніl між обкладками конденсаторів

Q =(U*ε_a*S)/l

Цей вираз можливо отримати на основі теореми Остроградського-Гауса:

Q= D*S=E*ε_a *S= U/l*(ε_a *S).

Величина ε_{a ,}S, lхарактеризують конструктивні параметри конденсатора.

Нехай ε_a *S/l= С(*), тодіQ= С*U (* *), де

С - коефіцієнт пропорційності між кількістю накопичених зарядів та напругою, яка прикладена до обкладок конденсатора, він має назву ємності конденсатора.

Ємність даного конденсатора є величина постійна, яка характеризує його конструктивні параметри.

Одиниця вимірювання ємності - фарад:

[С] = 1 Кл/1 В =1 Ф

1 мкФ = 10^-6Ф; 1 нф=10^-9Ф; 1 пф=10^-12Ф.

Конденсатори змінної ємності виготовляють з повітряним діелектриком, змінюючи або площину поверхні обкладок, або відстань між ними.

2 Конденсатор, виконаний з пласких пластин, має назву плаского:

Якщо на конденсатор подавати постійну напругу, на пластинах накопичується однакова кількість протилежних зарядів. При зміні напруги, яка прикладена до пластин, змінюється електричний заряд:Q= С*Uc.

При зміні зарядів на пластинах змінюються їхні потенціали і в колі виникає струм, величина якого визначається швидкістю зміни зарядів на обкладках конденсатора:

і = dQ/dt, де dQ= CdUc, тоді

і= CdUc/dt (***)

Струм у провідниках, з'єднуючих конденсатор з джерелом, розглядають як струм провідності. Струм в діелектрику - струм зміщення. Струм зміщення і струм провідності - це один процес зміни зарядів у колі.

dUc =idt або Uc=∫idt

Коли заряд позитивний і збільшується, струм позитивний, і до конденсатора надходить електрична енергія від зовнішнього кола. Коли заряд позитивний, але зменшується, струм негативний, і енергія, раніше накопичена у електричному колі конденсатора повертається до джерела.

У діелектрику потік вектора електричного зміщення N_Dможливо вважати скупченим у проміжкуl: N_D=D*S=Q.

Оскільки D=Е*ε_a тоQ =Е* ε_a* S,звідки Е=Q/ε_a* S.Таким чином,

напруженість електричного поля визначається відношенням величини заряду, накопиченого на обкладках конденсатора, до величини абсолютної діелектричної провідності і площини однієї з обкладок.

Ємність плоского конденсатора С = ε_a* S/l.

Чим менша відстань між пластинами, тим більша ємність конденсатора. Якщо з'єднати обидві пластини між собою (l=0), то С= ∞. Тобто конденсатор перестає бути накопичувачем зарядів. Провідник має ємність, яка дорівнює нескінченності.

З Конденсатор, обкладки якого виконані у вигляді двох циліндрів, вставлених один у другий, називають циліндричним.

Електричне поле такого конденсатора має радіальний напрям від одного циліндра до другого і тому неоднорідне.

У силу симетрії еквіпотенціальні поверхні - це циліндричні поверхні з загальною віссю основних циліндрів - обкладок конденсатора.

Напруженість електричного поля у загальному вигляді визначають

Е =Q/ζa* S, оскільки поверхні обкладок різні, то

E1=іE2=.

Оскільки R1<R2то напруженість поля на внутрішній обкладці циліндричного конденсатора завжди більша, ніж на зовнішній.

Визначимо напругу на обкладках конденсатора, оскільки поле не однорідне:

U=Ємність циліндричного конденсатора:

С=

4 Ємність відокремленої кулі.

Конденсатор, обкладки якого виконані у вигляді двох кульових сфер з загальними центрами, має назву сферичного.

Електричне поле сферичного конденсатора має радіальний напрям від однієї сфери до другої і тому неоднорідне.

Напруженість електричного поля сферичного конденсатора визначають по

загальній формулі E=, але оскільки площі поверхонь сфер різні,

напруженість електричного поля на обкладках різна:

E1=; E2=, деS=4πR²

E1= ;E2=

Напруга між обкладками U= ∫ЕdR,

U=

C=

Якщо R2= ∞, С =ζa*'4πR- ємність відокремленої кулі.

5 Двохпровідну лінію можливо уявити як деякий конденсатор, який має визначену ємність.

Електричне поле такого конденсатора треба розглядати як геометричну суму полів, створених струмами двох проводів.

Якщо відстань між проводамиазначно більша ніж радіус проводаr_о,то можливо вважати, що заряди рівномірно розподіляються на поверхні проводів. Електричне поле цього конденсатора неоднорідне. Визначимо напруженість електричного поля у довільній точці А. Проведемо через т, А пунктиром дві циліндричні поверхні і розглянемо два утворених циліндричних конденсатора:

Е1 = Q/ξa*S1 , Е2=Q/ξa*S1, деS1 таS2 - площі поверхонь утворених циліндрів.

При S1=2πRl;S2=2π(а-R)l

Е1=; Е2=

Оскільки вектори напруженостей Е1 та Е2паралельні один одному і мають однаковий напрям, то результуючий вектор напруженості поля в точці А;

Е1=

З цієї формули витікає, що напруженість буде максимальною на поверхні провідників, тобто R=r_оабо R=а-r_о

Е_max=

Оскільки електричне поле неоднорідне U= U=

Інтегруючи, отримаємо:

U=[ln(a-r_o)-ln r_o+ln(a-r_o-a)-ln(r_o-a)]=[2ln(a-r_o)-2ln r_o]=ln

Оскільки r_o<<a,то а- r_o≈а

U≈ ln

Ємність двохпровідної лінії:

C=

6 Послідовне з'єднання конденсаторів.

Будемо вважати, що діелектрик у конденсаторах ідеальний, такий, що не має власної електропровідності та електричних збитків. У цьoму випадку енергія джерела витрачається на зберігання установленої кількості зарядів на обкладках конденсатора.

При послідовному з'єднанні на обкладках кожного конденсатора установлюються рівні за величиною і протилежні за знаком заряди. Процес накопичення зарядів відбувається в результаті електростатичної індукції, коли наявність заряду на одній обкладці конденсатора викликає рівний за величиною, але зворотній по знакам заряд на протилежній обкладці. Це відбувається за рахунок розподілу зарядів у провіднику, який з'єднує обкладки конденсаторів.

В установленому режимі незалежно від ємності конденсаторів абсолютні значення зарядів на обкладках рівні між собою

Q1=Q2=Q3 абоQ=const.

Таким чином в електростатичному колі при послідовному з'єднанні конденсаторів абсолютні значення зарядів на обкладках не змінюються. В установленому режимі струм в колі відсутній. Спад напруги на кожному конденсаторі відповідає його ємності. Сума спадів напруг на кожному конденсаторі дорівнює повній напрузі мережі:

U=U1+U2+U3

; .

Величина, зворотня повній ємності, дорівнює сумі зворотніх ємностей кожного конденсатора.

7 Паралельне з'єднання конденсаторів.

При такому з'єднанні на обкладках кожного конденсатора накопичуються різні за величиною заряди. Кількість зарядів, накопичених всіма конденсаторами, дорівнює сумі зарядів, накопичених на кожному конденсаторі Q=Q1+Q2+Q3 ,алеQ=СU;

Q1=С1U; Q2=С2U; Q3=С3U,таким чиномCU=С1U+С2U+С3U.

С=С1+С2+С3.

Повна ємність паралельно з'єднаних конденсаторів дорівнює сумі ємностей окремих конденсаторів.

Величина заряда, накопичуємого на обкладках 'кожного конденсатора, залежить не тільки від ємності, але і від характеру з'єднання конденсаторів в колі. Повну ємність кола визначають шляхом поступового перетворення кола до одного виду з'єднання: послідовного або паралельного.

Приклад 1 : Визначити повну ємність кола і струму на конденсаторах, якщо

С1=30*10^-6 Ф; С2=10*10^-6Ф, С3=60*10^-6 Ф; С4=120В.

С34=С3*С4/ С3+С4=(30*10^-6*60*10^-6)/(30+60)*10^-6=20*10^-6Ф

С234=С2+С34 =10*10^-6+20*10^-6=30*10^-6 Ф

С=С1*С234/ С1+С234=(30*10^-6*30*10^-6)/(30+30)*10^-6=15*10^-6Ф

Для визначення напруги в колі необхідно знайти заряд Q, накопичений на обкадках конденсаторівQ=C*U=15*10^-6 _*120 =1800*10^-6 Кл.

U1=Q1/C1=1800*10^-6/30*10^-6 =60B

U2=U-U1=120-60=60B

U2=U34

таким чиним величина зарядів, накопичених на обкладках конденсаторів С3і С4

Q34 =C34• U34 =20*10^-6•60=1200*10^-6 Кл

U3=Q34/С3=1200*10^-6/30*10^-6=40ВU4=Q34/С4=1200*10^-6/60*10^-6=20В

9. Зміна електричного поля на межі двох середовищ розглянемо на прикладі плаского конденсатора з двохшаровим діелектриком.

Такий конденсатор можливо подати у вигляді двох конденсаторів, з'єднаних послідовно. Електричне поле плаского конденсатора з двохшаровим діелектриком можливо вважати однорідним. Напруженість електричного поля в кожному діелектрику різна:

E1=; E2=

абоE1*ξa₁=E2*ξa₂;D1=D2

В діелектрику з меншою провідністю буде найбільша напруженість електричного поля.

Електричні зміщення у обох середовищах рівні.

Ємність плаского конденсатора з двохшаровим діелектриком можливо визначити як ємність двох послідовно з'єднаних конденсаторів.

С1=; С2=;

C=

Спад напруг на окремих шарах визначають, виходячи з умови постійності зарядів при послідовному з'єднанні конденсаторів

Q=C*U=C1*U1=C2*U2=…

U1=(C*U)/C1; U2=(C*U)/C2

U1=UU2=U