Geometricheskie_postroenia-1
.pdf
Рис. 54
3.Точку Е кривой находим на пересечении прямых А-2 и В-1.
4.Переместив прямую l в положение l', аналогичными построениями найдѐм ещѐ одну текущую т. Е' и т.д. Пучок параллельных прямых li,
проходящих через несобственную т. |
|
позволяет найти сколько |
М |
||
угодно точек Еi кривой. |
|
|
31
4. Построение вписанных (касательных) окружностей
4.1. Примеры из истории
Построение вписанных окружностей в заданную фигуру одна из наиболее распространѐнных и устойчивых задач в традиционной культуре построения геометрического узора, который встречается в проектных зарисовках, в декоративном убранстве памятников архитектуры, мебели и другой домашней утвари, в объектах графического дизайна, в формах различных указателей, знаков и т.д. (рис. 55a – д).
а) |
б) |
в) |
г) |
д)
Рис. 55
а – Виллар д'Оннекур, 13 в. (Villard de Honnecour) рисунок архитектурной розы из альбома; б – декор готических окон; в – обложка компакт-диска современной музыкальной группы;
г– резной декор сундука, 18 в. Северная Италия д – товарные знаки:
–Союз промышленных дизайнеров. Р. Деннинг, Англия;
–Ателье пошива. В. Баллмер, Италия;
–Телефонная компания. Э.О. Биеманн, США.
32
При этом, за различными декоративными конструкциями такого рода может скрываться определѐнный смысл, о котором традиция зачастую умалчивает и о котором современный проектировщик и декоратор может только догадываться.
Например, на рис. 56а приведѐн т. н. объѐмный тетраэдр в яйце жизни
– известная символико-графическая схема, за которой стоят глубокие и устойчивые мифологические традиции, дожившие до наших дней.
На рис. 56 b показана полоса кругов, представляющая бинарный ряд, геометрически выражающий движение яйцеклетки, порождающей жизнь.
а) |
b) |
Рис. 56
4.2.Некоторые задачи
Взависимости от характера заданной фигуры, в которую предстоит вписать окружности, используют касательные и биссектрисы, а для заданных окружностей – прямые, делящие еѐ на равные части.
Задача 1. Вписать в данную окружность k три равные касательные окружности (рис. 57).
1. Проводим вертикальный диаметр и делим окружность на шесть равных частей, начиная от от верхнего его конца 1; нумеруем точки деления и соединяем их с центром О.
2.На пересечении касательной t ( t 1) и прямой 5-2 отмечаем т. А.
3.Полученный угол φ делим биссектрисой b пополам.
4.Пересечение биссектрисы с вертикальным диаметром 1-4 определяет
центр О1 первой касательной окружности. Положение остальных центров О2 и О3 и построение вписанных окружностей, проведѐнных из них, понятно из чертежа.
33
Рис. 57 |
Рис. 58 |
Рис. 59 |
Задача 2. Вписать в данную окружность k четыре равные касательные окружности (рис. 58).
1.Делим окружность на восемь равных частей и, нумеруя точки деления, соединяем их с центром О.
2.На пересечении касательной t (t 1) и прямой 6-2 находим т. А.
3.На пересечении биссектрисы b угла φ и диаметра 1-5 определяется
центр О1 первой касательной окружности. Положение остальных центров О2, О3 и О4 и проведение из них вписанных окружностей, ясно из чертежа.
Задача 3. Вписать в данную окружность k пять равных касательных окружностей (рис. 59).
1.Делим окружность на десять равных частей и, нумеруя точки деления, соединяем их с центром О.
Дальнейшее решение задачи аналогично предыдущему.
Задача 4. Вписать в равнобедренный треугольник АВС не менее семи касательных окружностей (рис. 60).
Рис. 60
1.Из вершины В опускаем перпендикуляр на сторону АС и находим его основание – точку Е
2.Строим биссектрису угла ВСА и отмечаем точку О1 еѐ пересечения с прямой ВЕ.
34
3.Проводим первую касательную окружность из т. О1 с радиусом
О1Е= О1К.
4.Через т. М проводим касательную n к вписанной окружности (n a).
5.Строим биссектрису а' угла, заключѐнного между прямыми n и АС.
6.В пересечении прямых а и а' находим центр О2 второй касательной окружности.
Дальнейшие построения производятся аналогично.
Задача 5. Вписать в область, отсечѐнную от круга k прямой m не менее семи касательных окружностей (рис. 61).
1.Строим прямую n (n О), перпендикулярную прямой m и в их пересечении отмечаем т. Е.
2.Делим отрезок ЕК пополам и находим, тем самым, центр О1 первой касательной окружности.
3.Проводим касательную t1 (t1 L) к первой окружности.
4.Проводим биссектрису b угла, заключѐнного между прямыми m и t1.
5.На пересечении прямой b и дуги радиуса R' =LB находим центр О2 второй касательной окружности.
Центры последующих касательных окружностей находим аналогичным образом.
Рис. 61
35
Задача 6. Описать около данной окружности k три равные касательные окружности (рис. 62).
1.Делим данную окружность на три равные части точками А, В и С, через которые проводим радиальные прямые.
2.Через т. Е проводим касательную t к окружности, которая пересекается с радиальной прямой m (ОС) в т. К.
3.Строим биссектрису b угла, заключѐнного между прямыми t и m.
4.Находим т. L в пересечении биссектрисы b и вертикальной оси i В.
5.Проводим окружность e радиуса OL и в еѐ пересечении с радиальными прямыми, проходящими через тт. А, В и С находим центры О1, О2 и О3
искомых окружностей.
Рис. 62
4.3. Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Задать окружность и вписать в неѐ девять равных касательных окружностей.
Задача 2. Восстановить все построения, которые позволили вписать в заданную окружность 7 равных касательных окружностей
(рис. 63).
Задача 3. Восстановить все построения, которые позволили вписать в заданную окружность четыре равные касательные окружности одного радиуса и три равные касательные окружности другого радиуса (рис. 64).
36
Рис. 63 |
Рис. 64 |
Задача 4. В заданную фигуру, образованную пересекающимися дугами двух равных заданных окружностей вписать не менее трѐх (пяти) равных касательных окружностей (рис. 65);
Рис. 65
Задача 5. Задать окружность k и описать около неѐ четыре равные касательные окружности.
37
Раздел 2
5. Построение орнаментальных композиций
5.1. Общие замечания
Конструирование и начертание орнаментов есть вид графического искусства, имеющий важное значение для развития конструктивных и художественнографических навыков будущих архитекторов и дизайнеров. Творческие способности в процессе начертания орнамента получают стимулы для дальнейшего роста.
В основе орнаментального узора на плоскости лежит ритмическая упорядоченность геометрических элементов, основанная на симметрии. Симметрия – свойство геометрической фигуры, характеризующее некоторую правильность и неизменность еѐ формы при движении и зеркальных отражениях, называемых преобразованиями плоскости.
Кклассическим преобразованиям на плоскости относятся:
зеркальная симметрия, когда каждая т. M плоскости переходит в т. M ' относительно некоторой прямой a – оси симметрии, – которая может быть уподоблена некоторому идеальному зеркалу в плоскости. Тогда отрезок MM ' (M ' – отражение т. М) перпендикулярен прямой a
иделится ею пополам (рис. 66);
поворотная симметрия, когда каждая т. N плоскости переходит в т. N ' путѐм поворота на определѐнный угол около воображаемой оси i, проходящей через центр О и перпендикулярной плоскости, в которой осуществляется поворот (рис. 67). В данном случае угол поворота
φ= 90○;
центральная симметрия (инверсия), когда каждая т. L плоскости переходит в т. L ' относительно некоторой точки С – центра симметрии таким образом, что LС ═ СL', при условии, что точки L, С, L' – коллинейны, т.е. лежат на одной прямой (рис. 68); идеальным примером центрально-симметричной фигуры на плоскости является окружность, (в пространстве – сфера);
трансляция (перенос), когда каждая т. F повторяется на плоскости через определѐнное расстояние и в определѐнном направлении, образуя ритмическую последовательность. Трансляции порождают одномерный узор (рис. 69 а). Паркетные полы, узоры на обоях, кружевные ленты,
дорожки, вымощенные плиткой, обладают неодномерной трансляционной (ковровой) симметрией в том смысле, что их образуют узоры, не имеющие собственных границ (рис. 69 b).
38
Рис. 66 |
Рис. 67 |
Рис. 68 |
a) |
b) |
|
Рис. 69 |
В искусстве симметрия получила распространение как одно из средств построения гармоничной композиции. В традиционной и современной культуре она присуща, как произведениям архитектуры и декоративноприкладного искусства, так и произведениям изобразительного искусства и графического дизайна. В архитектуре симметрия используется в качестве основного приѐма при построении различных декоративных элементов.
Например, в Древней Греции – это капители(а), антефиксы (b), бордюры (в)
и др. (рис. 70), или в готической архитектуре – это вимперги (a), трифолии
(b), квадрифолии (в) и др. (рис. 71).
а) |
b) |
в) |
Рис. 70
39
а) |
b) |
в) |
Рис. 71
Кроме того, различные виды симметрии используются при создании различных знаков – товарных, информационных, манипуляционных, логотипов и т.д. (рис. 72 а-г).
а) |
b) |
в) |
г) |
Рис. 72
Комбинации симметрий, порождѐнные зеркальными отражениями, вращениями и переносами, являются предметом исследования в различных областях естествознания. Например, винтовая симметрия, осуществляемая поворотом на некоторый угол около оси, дополненным переносом вдоль той же оси, наблюдается в расположении листьев у растений и потому изучается в ботанике. Геральдика – это ещѐ одна область семантики и художественного конструирования, в которой широко проявляются идеи симметрии.
5.2 Средства построения узоров
Для построения орнаментальных узоров используются:
1)визуальные или иконические знаки (содержание);
2)геометрический каркас, представляющий собою упорядоченную сеть (форма).
40