Geometricheskie_postroenia-1
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН МЕЖДУНАРОДНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ КОРПОРАЦИЯ
КАЗАХСКАЯ ГОЛОВНАЯ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ
МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
Геометрические построения в курсе инженерной графики для студентов архитектурных специальностей
Часть 1
Алматы 2009
УДК 744.43 (07)
Составитель ассоц. профессор Ю.П. Самаркин
Геометрические построения в курсе инженерной графики для студентов архитектурных специальностей. – Алматы: КазГАСА, 2009. – с. 62
Рассматривается широкий спектр построений, связанный с геометрией окружности. Приводятся основные приѐмы деления окружности на равные части, рассматриваются задачи на сопряжения линий и их использование для конструирования обводов различных архитектурных форм, приводятся построения циркульных и лекальных кривых, наиболее часто используемых в архитектурном проектировании, обсуждаются основные принципы создания и построения орнаментальных композиций.
В Приложении даются варианты заданий на построение сопряжений для курсовой графической работы.
Илл. 96, Библиография 11 назв.
Утверждено Методическим советом Факультета Архитектуры, протокол № 1 от 24.08.2009 г.
Печатается по плану издания КазГАСА на 2009-2010 уч. год
Рецензенты: Какорин В.Д., канд. арх., ассоц. проф. КазГАСА; Азимов И.М., доктор арх, профессор, зав. каф. АиД КазНТУ им. К.И. Сатпаева
© Казахская головная архитектурно-строительная академия, 2009
2
Введение
Занятия геометрическими построениями предполагают умение грамотно
пользоваться |
чертѐжными инструментами |
и |
материалами. |
И |
хотя в |
||
настоящее время |
для |
получения чертежей |
в основном |
используют |
|||
графические |
прикладные |
пакеты (AutoCAD, |
ArchiCAD, Компас |
и др.), |
|||
научиться традиционным приѐмам начертания и познакомиться с основными геометрическими построениями будущему проектировщику необходимо, поскольку графические операции, выполняемые с помощью чертѐжных инструментов, развивают изобретательность, инициативу и конструктивные способности, а кроме того, способствуют повышению его геометрической культуры.
Совершенствуя глаз и руку, приучая их к получению строго определѐнных сочетаний линий при решении различных конструктивных задач, можно развить аккуратность в начертании, столь необходимую в процессе проектирования, а также укрепить дисциплину собственного мышления, выраженную в его логической форме.
Материал в данной работе поделен на два раздела. В первом разделе приведены общие сведения об окружности, рассматриваются еѐ основные свойства и построения, связанные с нею (проведение касательных, спрямление дуг, деление окружностей на равные части, построение сопряжений, обводов и др.).
Во втором разделе, меньшем по объѐму, обсуждаются некоторые виды геометрических орнаментов и общие принципы их построения, основанные по большей части на идее симметрии.
Многие геометрические построения, включѐнные в данную работу, встречаются как при решении курсовых графических работ (КГР), выполняемых в течение всех трѐх семестров изучения Инженерной графики, так и при решении задач, предлагаемых на СРСП в порядке подготовки к экзамену по любой из дисциплин – ИГ-1, ИГ-2 или ИГ-3.
Кроме того, часть рассмотренных задач, не получивших достаточного отражения в современной учебной литературе по инженерной графике, но представляющих интерес для практиков, мы сочли полезным включить в данную работу.
При описании решений всех приводимых задач, доказательная часть их из методических соображений практически опущена.
В Приложении дано краткое описание КГР №3, выполняемой в системе дисциплины ИГ-2, приводятся варианты заданий на построение сопряжений.
3
Раздел 1
1. Окружность.
1.1. Основные факты
Точка есть окружность с бесконечно-малым радиусом.
Прямая есть окружность с бесконечно-большим радиусом.
Окружность можно задать тройкой линейно независимых точек.
Окружность можно задать тройкой различных прямых.
Через точку вне окружности можно провести к ней не более двух касательных, каждая из которых перпендикулярна радиусу, проведѐнному в точку касания; такой радиус называют нормалью.
Из всех точек на окружности ближайшая к внешней точке S и наиболее удалѐнная от S, есть основания нормалей к окружности, проходящих через S.
Окружность имеет бесчисленное множество осей симметрии, проходящих через еѐ центр.
Диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду и каждую из стягиваемых ею дуг пополам.
Геометрическое место середин взаимно параллельных хорд есть диаметр, перпендикулярный этим хордам.
Две окружности не могут иметь более двух общих точек.
Линия, соединяющая центры двух пересекающихся окружностей, перпендикулярна общей хорде этих окружностей и делит еѐ пополам.
Если две окружности имеют одну общую точку, то они касаются друг друга и точка касания лежит на линии центров.
Вписанный в окружность угол равен половине дуги, на которую он опирается.
Угол, образованный касательной и хордой с концом в точке касания, равен половине дуги, отсекаемой этой хордой.
Геометрическое место точек, расположенных по одну сторону от прямой, из которых данный отрезок этой прямой виден под одним и тем же углом, есть дуга окружности, концы которой совпадают с концами данного отрезка.
1.2. Простейшие задачи для самостоятельного решения
При решении задач на построение, чаще всего применяется метод геометрических мест известный из школьного курса геометрии.
4
Ниже приводится несколько испытательных задач для самостоятельного решения с применением чертѐжных инструментов.
Задача 1. Через т. М внутри окружности построить наименьшую хорду. Задача 2. Через т. М внутри окружности построить хорду, равную данному
отрезку АВ.
Задача 3. Построить хорду заданной окружности, равную и параллельную данному отрезку LK.
Задача 4. Построить вписанный прямой угол, стороны которого проходят через заданные внутри окружности точки А и В. Сколько решений может иметь задача? Может ли задача вообще не иметь решений?
Задача 5. Построить отрезок, равный и параллельный заданному отрезку CD, концы которого лежали бы на данной прямой m и данной окружности k.
Задача 6. Построить отрезок, равный и параллельный данному отрезку MN, концы которого лежали бы на двух данных окружностях.
1.3.Проведение касательных к окружности
Задачи на проведение касательных к окружности часто встречаются при построении контуров различных декоративных и архитектурных элементов (орнаментальных композиций, ваз, скоций, гуськов, карнизов, кронштейнов и т.д.). При этом задача на проведение касательной сводится к построению на окружности точки (точек) касания.
Задача 1. Через т. М провести касательную к окружности k (рис. 1).
1.Соединяем тт. С и М прямой и делим отрезок СМ пополам точкой Р.
2.Строим окружность b радиуса РС из т. Р.
3.Находим тт. А и В пересечения окружностей k и b; это – точки касания.
4.Через тт. А и В проводим касательные ta и tb. Проведение нормалей n ясно из чертежа.
Рис. 1
Построение касательной, как видно из решения задачи, возможно лишь при наличии центра Р, который даже за неимением центра С заданной дуги k, удаѐтся отыскать.
5
Задача 2. Через т. Е провести касательную к дуге окружности k (рис. 2).
1.Через т. Е проведѐм две произвольные прямые так, чтобы заданная дуга пересеклась с каждой из них в двух точках – А,В и С,D.
2.Делим каждый из полученных отрезков пополам точками 1 (А1=В1) и 2
(С2=D2).
3.Находим середины Т и L отрезков 1Е и 2Е соответственно.
4.Центр Р лежит на пересечении перпендикуляров, проведѐнных через тт. Т и L.
5.Проводим из т. О окружность l радиуса R=О1=О2. Дальнейшее ясно из чертежа.
Рис. 2
Задача 3. Через т. F провести касательные ti к окружности k (рис. 3). Для решения задачи используется свойство полярного соответствия,
которое известно так же как принцип взаимности (см. в любом курсе Проективной геометрии).
1. Через т. F проведѐм три произвольные секущие 1-2, 3-4 и 5-6.
3.Построим прямую, проходящую через диагональные точки М и N.
4.Полученная прямая пересечѐт окружность k в точках касания А и В.
5.Из т. F через тт. А и В проведѐм касательные ta и tb.
Построение принципиально не изменится, если т. F окажется несобственной
(рис. 4).
Рис. 3 |
Рис. 4 |
Рис. 5 |
Данный способ может успешно применяться при построении касательных и к другим кривым 2-го порядка, например, к эллипсу (рис. 5).
6
Задача 4. Через т. К на дуге с окружности провести к этой дуге касательную t (рис. 6).
1.Дугой произвольного радиуса из т. К наметим на дуге с тт. 1 и 2.
2.Параллельно хорде 1-2 проведѐм через т. К искомую касательную t.
Рис. 6
1.4. Спрямление окружности
Задача 1. Спрямить дугу АВ окружности с известным центром О (рис. 7).
1.Соединим концы дуги и, тем самым, получим хорду АВ.
2.Через центр О дуги проведѐм прямую, перпендикулярную хорде.
3.На этой прямой от т. О отложим вправо отрезок ОЕ=2R и полученную т. Е, соединим с концами дуги А и В.
4.Через т. С проведѐм к дуге касательную, параллельную АВ; на ней
продолжения |
прямых ЕА и ЕВ отсекут отрезок А' В', который с |
достаточным |
приближением и будет равен длине дуги АВ. |
Этот способ даѐт минимальные погрешности при угле дуги φ<40○. Его в 15 в. предложил кардинал Николай Кузанский ( Nicolaus Cusanus).
Рис. 7
Задача 2. Спрямить полуокружность АВ (рис. 8).
1.Проведѐм в т. В касательную t к окружности и из центра О к диаметру АВ проведѐм прямую m под углом φ=30○.
2.В пересечении прямых t и m находим т. Е.
3.От т. Е на касательной откладываем отрезок ЕD=3R, который приближенно равен длине полуокружности АВ.
На рис. 9 аналогичная задача решена несколько иначе. Предлагается разобрать еѐ самостоятельно, анализируя несложный чертѐж.
7
Рис. 8 |
Рис. 9 |
Задача 3. Определить длину дуги МN, если центр еѐ неизвестен (рис. 10).
1.Делим хорду МN на четыре равные части.
2.Одну четверть откладываем от т. N на дуге МN.
3.Найденную т. Е соединяем с точкой деления 1.
4.Удваивая отрезок Е1 до отрезка ЕК, получаем спрямлѐнную длину дуги МN.
Рис. 10
1.5. Деление окружности на равные части
Задача деления окружности имеет широкие практические приложения в архитектуре, дизайне и декоративно-прикладном искусстве, не говоря уже о применении в технике (разбивка цилиндрических колонн каннелюрами, разметка поверхности сосудов для нанесения ритмического декоративного узора, расчѐт зубчатых колѐс и др.).
Задача 1. Разделить окружность пополам (рис. 11). Всякий диаметр делит окружность пополам.
Задача 2. Разделить окружность на три равные части (рис. 12).
1.Из произвольной т. Е проводим дугу радиуса R равного радиусу окружности и, находим точки А и С еѐ пересечения с окружностью.
2.Радиусом R'=АС проводим дугу из т. С и намечаем на окружности т. В.
Дуги АВ=ВС=СА=1/3 k.
8
Задача 3. Два взаимно-перпендикулярных диаметра делят окружность на 4 равные части (рис. 13).
Рис. 11 |
Рис. 12 |
Рис. 13 |
Задача 4. Разделить окружность на 5 равных частей (рис. 14).
1.Строим два взаимно-перпендикулярных полудиаметра ТО NО.
2.Делим полудиаметр ОТ пополам точкой К: ОК=КТ.
3.Соединяем тт. К и N прямой и на ней дугой радиуса R'=ОК намечаем т. Е.
4.Из т. N проводим дугу радиуса R''=NE и намечаем ею на окружности тт. А и С; между ними заключена 1/5 часть заданной окружности.
Задача 5. Разделить окружность k на 6 равных частей (рис. 15).
1.Из произвольной т. 1 окружности радиуса R проводим дугу того же радиуса и с еѐ помощью намечаем на окружности тт. 2 и 6. Дуга, заключѐнная между точками 1 и 2 или 1 и 6 равна 1/6 окружности. Нахождение остальных точек понятно из чертежа.
Задача 6. Разделить окружность на 7 равных частей (рис. 16).
1.Из произвольной т. К окружности проводим дугу ВК=R.
2.Хорду ВЕ делим пополам точкой Р.
3.Из т. В проводим дугу радиуса R' и находим т. С на окружности. Полученная дуга ВС равна 1/7 окружности.
Рис. 14 |
Рис. 15 |
Рис. 16 |
Задача 7. Разделить окружность на n равных частей и пусть n = 9. (рис. 17).
1.Делим диаметр АВ на 9 равных частей.
2.Из тт. А и В, как из центров, проводим дуги радиуса АВ до их взаимного пересечения в т. М.
9
3.Проводим из т. М лучи через чѐтные (или нечѐтные) точки деления диаметра АВ.
4.Пересечение с окружностью дают искомые точки деления: дуга, заключѐнная между точками А и С есть 1/9 часть окружности.
Эту же задачу можно решить, используя другой прием (рис. 18):
1.Делим радиус ОЕ на 6 равных частей.
2.Из т. Е как из центра проводим дугу m радиусом R' равным 5/6 ОЕ.
3.Дуга m пересечѐт окружность k в т. F; дуга EF равна 1/9 окружности.
Рис. 17 |
Рис. 18 |
1.6. Построение правильных многоугольников по заданной стороне
Задача деления окружности чаще всего используется для построения правильных многоугольников, которые широко используются в процессе архитектурного проектирования и художественного конструирования.
Практический интерес представляет решение задачи на построение правильных многоугольников по известной их стороне. Рассмотрим общий способ решения данной задачи.
Задача. Построить последовательный ряд правильных многоугольников по заданной их стороне АВ (рис. 19).
1.Из тт. А и В радиусом m описываем две дуги, которые пересекаются в т. С (АВС – равносторонний треугольник).
2.Строим перпендикуляры из тт. А и В и в их пересечении с проведѐнными дугами находим тт. Е и К (АЕКВ – квадрат).
3.Диагональ ВЕ квадрата в пересечении с осью i даѐт центр 1 окружности, в которой сторона m уложится четыре раза.
4.Отрезок 1-3 делим пополам точкой 2.
5.Отрезок 2-3 откладываем последовательно от т. 3 по оси i, отмечая последовательно точки 4,5,6,…n. Тогда полученные точки 1, 2, 3, 4, 5,…n
– центры окружностей, в которые впишутся соответственно правильные квадрат, пятиугольник, шестиугольник, семиугольник и т.д.
10