Лекции (doc) - 2008 / Пояснение к лекции 3

Итак, основные этапы построения эмпирических моделей:

• выбираются входные переменные, влияющие на протекание процесса, – так называемые факторы;

• определяется выходная (зависимая) переменная, характеризующая состояние процесса, его эффективность, которую можно рассматривать как критерий оптимальности (целевую функцию), – так называемая функция отклика;

Строим таблицу эксперимента:

• определяется вид приближённого уравнения регрессии (структурная идентификация);

• вычисляются коэффициенты регрессии (параметрическая инедтификация);

• определяется значимость коэффициентов регрессии с использованием критерия Стьюдента t;

• устанавливается адекватность уравнения регрессии с применением критерия Фишера F ;

• определяется совместная доверительная область для коэффициентов регрессии.

После проведения опытов нужно выбрать конкретную форму функциональной зависимости.

Слайд 20 В общем случае различают два вида уравнений регрессии (эмпирических моделей) – нелинейные по параметрам , статистический анализ которых осуществляется методом «нелинейной регрессии» и линейные по параметрам , статистический анализ которых проводится методом «линейной регрессии».

Слайд 22 Даже если модель не линейна, можно ее лианеризовать.

1. Уравнение Кирхгофа

; ln P = A + B/T; T ln P = AТ + B

: а₀ = В и а₁ = А

После определения а₀ и а₁ нужно перейти к натуральным коэффициентам.

2. Уравнение Антуана

; ln P = A + B/(С+T); (С+Т)lgP = A(С+Т)+B;

СlgP + ТlgP = AС+AТ+B; ТlgP = AС+B +AТ – СlgР

: а₀ = АС+В, а₁ = А, а₂ = –С

3. Уравнение Риделя:

; ln P = A + B/T + СТ + D ln T;

T ln P = AT + B + СТ² + T D lnT;

а₀ = В, а₁ = А, а₂ = С, а₃ = D

4. ; ;

5. ; ; ; ; ;

6. ; ln y = lg α + β₁lg х₁ + β₂lg x₂

а₀ = ln α, а₁ = β₁,а₂ = β₁

7. ; ln y = lgβ₁ + β₂x

а₀ = ln β₁, а₁ = β₂

Слайд 25+26. Если есть уравнение прямой, то нам нужно таким образом подобрать коэффициенты а₀и а₁, чтобы сумма квадратов отклонений была минимальна.

Слайд 28. Для нелинейных моделей для определения решаем прямую задачу:

Для ее решения необходим алгоритм оптимизации: необходимо найти такие оптимальные значения коэффициентов А, В с С из области их допустимых значений, которые обеспечат наименьшее значение квадратичного критерия рассогласования между расч. и эксп. данными. Это сложная математическая операция многошаговый, итерационный алгоритм.

Слайд 29. Для линейных моделей для определения можно использовать косвенные методы: нужны только алгоритмы решения СЛАУ.

Слайд 31.

Слайд 32. Вместо у ^расч Вы поставили линейную по параметрам модель (слайд 20).

Производные представлены в аналитическом виде.

Слайд 34. – линейные функции входных переменных

Ф – матрица входных переменных

I – информационная матрица

у ^эксп – вектор наблюдений

Е – единичная матрица – диагональная матрица, все элементы главной диагонали которой равны 1.

Итак, 1 задача решена: определение коэффициентов регрессионного уравнения.

2 задача: определение значимости коэффициентов регрессии: существенно ли они отличаются от 0 ; 3 задача – проверка адекватности уравнения. 2 и 3 задачи проводятся с помощью регрессионного анализа.