2.2 Законы логики

Равносильности формул логики высказываний часто называют законами логики. Перечислим наиболее важные из них:

1. –закон тождества.

2. –закон исключенного третьего

3. –закон противоречия

4. –дизъюнкция с нулем

5. –конъюнкция с нулем

6. –дизъюнкция с единицей

7. –конъюнкция с единицей

8. –закон двойного отрицания

9. –коммутативность конъюнкции

10. –коммутативность дизъюнкции

11. –ассоциативность конъюнкции

12. –ассоциативность дизъюнкции

13. –дистрибутивность конъюнкции

14. –дистрибутивность дизъюнкции

15. –законы идемпотентности

16. ; – законы поглощения

17. ; – законы де Моргана

18. –закон, выражающий импликацию через дизъюнкцию

19. –закон контрапозиции

20. –законы, выражающие эквиваленцию через другие логические операции

Законы логики используются для упрощения сложных формул и для доказательства тождественной истинности или ложности формул.

2.3 Равносильные преобразования. Упрощение формул

Если в равносильные формулы всюду вместо какой-нибудь переменной подставить одну и ту же формулу, то вновь полученные формулы также окажутся равносильными в соответствии с правилом подстановки. Таким способом из каждой равносильности можно получить сколько угодно новых равносильностей.

Пример 1: Если в законе де Моргана вместоХ подставить , а вместоY подставить , то получим новую равносильность. Справедливость полученной равносильности легко проверить с помощью таблицы истинности.

Если какую-нибудь формулу , являющуюся частью формулыF, заменить формулой , равносильной формуле, то полученная формула окажется равносильной формулеF.

Тогда для формулы из примера 2 можно провести следующие замены:

–закон двойного отрицания;

–закон де Моргана;

–закон двойного отрицания;

–закон ассоциативности;

–закон идемпотентности.

По свойству транзитивности отношения равносильности можем утверждать, что .

Замену одной формулы другой, ей равносильной, называют равносильным преобразованием формулы.

Под упрощением формулы, не содержащей знаков импликации и эквиваленции, понимают равносильное преобразование, приводящее к формуле, которая не содержит отрицаний неэлементарных формул (в частности, двойных отрицаний) или содержит в совокупности меньшее число знаков конъюнкции и дизъюнкции, чем исходная.

Пример 2.2: Упростим формулу .

.

На первом шаге мы применили закон, преобразующий импликацию в дизъюнкцию. На втором шаге применили коммутативный закон. На третьем шаге применили закон идемпотентности. На четвертом – закон де Моргана. И на пятом – закон двойного отрицания.

Замечание 1. Если некоторая формула является тавтологией, то и всякая равносильная ей формула также является тавтологией.

Таким образом, равносильные преобразования можно также применять для доказательства тождественной истинности тех или иных формул. Для этого данную формулу нужно равносильными преобразованиями привести к одной из формул, которые являются тавтологиями.

Замечание 2. Некоторые тавтологии и равносильности объединены в пары (закон противоречия и закон альтернативы, коммутативный, ассоциативный законы и т.д.). В этих соответствиях проявляется так называемый принцип двойственности.

Две формулы, не содержащие знаков импликации и эквиваленции, называются двойственными, если каждую из них можно получить из другой заменой знаков соответственно на.

Принцип двойственности утверждает следующее:

Теорема 2.2: Если две формулы, не содержащие знаков импликации и эквиваленции, равносильны, то и двойственные им формулы также равносильны.