Раздел 3. Логическое следование. Применение алгебры высказываний к логико-математической практике

3.1 Логическое следование

Определение 1. Формула B называется логическим следствием формул A₁, A₂, …, A_n, если при любых значениях входящих в них элементарных высказываний формула B принимает значение «истинно» всякий раз, когда формулы A₁, A₂, …, A_n принимают значение «истинно». Обозначается A₁, A₂, …, A_n ╞ B

Из определения логического следования вытекает, что:

1. Тавтология логически следует из любой формулы.

2. Из противоречия логически следует любая формула.

Теорема 1. Из A логически следует B тогда и только тогда, когда тавтологией является .

Теорема 2. A₁, A₂,…, A_n╞ B тогда и только тогда, когда является тавтологией A₁&A₂& …& A_n B.

Теорема 3. Из формул A₁, A₂,…, A_n , B логически следует C тогда и только тогда, когда из формул A₁, A₂, …, A_n логически следует BC.

Следствие 1. Из A и B логически следует C тогда и только тогда, когда тавтологией является A(BC).

Следствие 2. Из формул A₁, A₂, …, A_n логически следует B тогда и только тогда, когда тавтологией является A₁(A₂ … (A_nB)…).

Отношение логического следования играет в математике большую роль.

2. Теоремы. Необходимые и достаточные условия

Теорема – это предложение, истинность которого доказывается на основе аксиом или ранее доказанных теорем. Теоремы часто формулируются в виде импликаций (следования). Импликативная структура наиболее удобна для выделения условия и заключения теоремы (того, что дано, и того, что необходимо доказать). Если импликация выражает некоторую теорему, то основание импликацииА выражает условие, а следствие В – заключение теоремы. Условие или заключение в свою очередь может не быть элементарным высказыванием, а иметь определенную логическую структуру, чаще всего конъюнктивную или дизъюнктивную. Рассмотрим примеры:

1. Теорема «Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны или делят его углы пополам, то этот параллелограмм – ромб» имеет структуру , гдеА = «диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны»; В = «(диагонали параллелограмма) делят его углы пополам»; С = «этот параллелограмм – ромб».

2. Теорема о средней линии трапеции («средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме») после соответствующей переформулировки («если четырехугольник – трапеция, то его средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме») имеет структуру: , гдеА = «четырехугольник – трапеция»; В = «его средняя линия параллельна основаниям»; С = «(его средняя линия) равна полусумме оснований».

Для каждого предложения, сформулированного в виде импликации можно составить обратное ему предложение, противоположное и обратно-противоположное предложение. Рассмотрим их более подробно.

1. Обратное предложение . Для всякой теоремы «еслиА, то В» можно сформулировать обратное ей предложение «если В, то А». При этом не для всякой теоремы, обратное ей предложение также является теоремой. Пусть, например, даны две теоремы: «Если два квадрата равны, то их площади равны»; «Если два прямоугольника равны, то их площади равны». Предложение «Если площади двух квадратов равны, то эти квадраты равны», обратное первой из этих теорем, также является теоремой. Предложение «Если площади двух прямоугольников равны, то эти прямоугольники равны», обратное второй теореме, теоремой не является, её легко опровергнуть.

Эти примеры свидетельствуют о неравносильности предложений вида и. В неравносильности предложений такого вида можно также убедиться, сравнив таблицы истинности формули:

X	Y
1	1	1	1
1	0	0	1
0	1	1	0
0	0	1	1

Поскольку два последних столбца в таблице не одинаковы, эквиваленция этих формул не является тавтологией, то есть они не равносильны. Более того, из таблицы видно, что одновременно с истинностью предложения вида «если А, то В», предложение вида «если В, то А» может быть как истинным, так и ложным.

Таким образом, если доказана истинность какого-либо предложения, то независимо от этого обратное ему предложение требует доказательства или опровержения.

2. Противоположные предложения . Для всякой теоремы, сформулированной в виде импликации, можно составить противоположное предложение. Предложение, противоположное данной теореме, может быть также теоремой, но может ею и не быть. В этом легко убедиться, сравнив таблицы истинности формули:

X	Y
1	1	1	0	0	1
1	0	0	0	1	1
0	1	1	1	0	0
0	0	1	1	1	1

В том случае, когда предложение истинно, предложениеможет быть как истинным, так и ложным. Следовательно, предложение, противоположное доказанной теореме, в свою очередь требует доказательства или опровержения. Для наглядности рассмотрим теоремы, приведенные выше, и составим для каждой противоположное предложение. Предложение, противоположное первой теореме «Если квадраты не равны, то их площади не равны», очевидно, является теоремой. Предложение «Если прямоугольники не равны, то их площади не равны» легко опровергается примером (Прямоугольники со сторонами 3х4 и 2х6 не равны, но площадь каждого из них равна 12).

Если условие или заключение данной теоремы представляет собой конъюнкцию или дизъюнкцию, то при составлении предложения, противоположного данной теореме, нужно учитывать соответствующий закон де Моргана. Иногда конъюнкция или дизъюнкция в формулировке теоремы присутствует неявно, «замаскированно». Поэтому, чтобы правильно сформулировать предложение, противоположное данной теореме, нужно сначала тщательно проанализировать её формулировку и выявить подразумеваемые конъюнкции или дизъюнкции (если таковые имеются). Например, в заключении теоремы «Если треугольник АВС равнобедренный, то два его угла равны» скрыта дизъюнкция: «Если в треугольнике АВС или, или, тоили, или». Отрицание этой дизъюнкции дает конъюнкцию: «Если в треугольникеАВС и, и, тои, и», что короче можно выразить так: «Если треугольник не равнобедренный, то никакие два его угла не равны».

3. Обратно-противоположные предложения. Закон контрапозиции. Для каждой теоремы вида можно сформулировать обратно-противоположное предложение вида, при этом имеет место следующая равносильность:, которая носит название закона контрапозиции. Согласно ему: 1)два предложения вида иодновременно истинны или одновременно ложны; 2) предложение, обратно-противоположное данной теореме, также является теоремой; 3) вместо данной теоремы можно доказывать обратно-противоположную ей теорему.

Пусть, например, требуется доказать утверждение «Если нечетно, тот нечетно». Сформулируем и докажем обратно-противоположную теорему: «Если т четно, то четно»; действительно, еслит четно, то (р – натуральное число), откуда , то естьчетно.

Если в равносильность подставитьY вместо Х и Х вместо Y, то получим . Из этой равносильности следует: 1)предложение, обратное данному и противоположное данному одновременно истинны или одновременно ложны; 2) из двух предложений – обратного данной теореме и противоположного ей – достаточно доказать или опровергнуть только одно из них; тем самым будет доказано или опровергнуто и второе.

Часто в формулировках теорем используются выражения «необходимо», «достаточно» «необходимо и достаточно» (признак). Если предложение – теорема, то A называется достаточным условием для B, а B – необходимым условием для A. Например, теорему «Если квадраты равны, то их площади равны» можно сформулировать в виде необходимого условия: «Для того чтобы квадраты были равны, необходимо, чтобы их площади были равны»; или достаточного условия: «Для того чтобы площади двух квадратов были равны, достаточно, чтобы они были равны».

Если вместе с предложение также является теоремой, то A называется необходимым и достаточным условием для B, а B – необходимым и достаточным условием для A. В логике это выражение соответствует эквиваленции, которая, как известно, представима в виде конъюнкции двух импликаций. Одна из этих импликаций выражает теорему, доказывающую необходимость признака, другая выражает теорему, доказывающую достаточность признака. Например, признак перпендикулярности двух плоскостей:

«Для того чтобы две плоскости были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы одна из них проходила через прямую, перпендикулярную к другой», может быть сформулирован и так: «Две плоскости перпендикулярны, ЕСЛИ И ТОЛЬКО ЕСЛИ одна из них проходит через прямую, перпендикулярную к другой»: или.

Если же – теорема, а предложениетеоремой не является, тоА называется достаточным, но не необходимым условием для В, а В – необходимым, но не достаточным условием для А.

Умозаключение – это мысль, в ходе которой из одного или нескольких суждений выводится новое суждение.

При этом исходные суждения называются посылками, а полученное суждение – заключением или следствием. Аристотель приводил такой пример умозаключения: “Все люди смертны.” и “Сократ – человек.” - посылки. “Сократ смертен” – заключение. Переход от посылок к заключению происходит по правилом вывода и законам логики.

ПРАВИЛО 1: Если посылки умозаключения истинны, то истинно и заключение.

ПРАВИЛО 2: Если умозаключение справедливо во всех случаях, то оно справедливо и в каждом частном случае. (Это правило ДЕДУКЦИИ – переход от общего к частному)

Приведите пример дедуктивного вывода. С именем какого литературного героя связано понятие дедукции?

ПРАВИЛО 3: Если умозаключение справедливо в некоторых частных случаях, то оно справедливо во всех случаях. (Это правило ИНДУКЦИИ – переход от частного к общему.)