Текст лекции

Введение в лекцию:

При изучении Темы 1 нами были рассмотрены случайные явления, наблюдаемые результаты которых после проведения опыта представлялись в виде случайных событий. Например, результат выстрела сводился к попаданию в цель или промаху. Можно сказать, что событие характеризует как бы качественный результат опыта, который при оценке эффективности стрельбы на поражение не всегда нас удовлетворяет. Действительно, поражение цели может быть достигнуто не только при прямом попадании в цель, но и при промахе при условии, что отклонение разрыва от цели не превышает какой-то определенной величины. Чтобы правильно оценить эффективность стрельбы в таких условиях, нужно знать, на каком именно удалении разрывов от цели цель будет поражаться, т.е. данное случайное явление необходимо оценивать не с качественной, а с количественной стороны. Именно подобные обстоятельства и привели к необходимости ввести в рассмотрение теорией вероятностей случайные величины.

Учебные вопросы лекции:

1. Понятие о случайной величине и законе её распределения

Случайной величиной называется такая переменная величина, которая при испытании может принимать то или иное частное значение, причём заранее неизвестно какое.

Можно дать и несколько иное определение случайной величины:

Величина, значения которой от испытания к испытанию изменяются случайным образом, называется случайной величиной.

Случайные величины принято обозначать прописными буквами Х; У; Z … , а возможные частные значения, которые может принять случайная величина, - соответственно строчными буквами х₁, х₂,…х_n…; у₁, у₂,…у_i,…, у_n.

Если не указывается, какое именно из возможных значений принимает случайная величина, её могут обозначать как х; y.

Понятие случайной величины является фундаментальным понятием теории вероятностей и играет большую роль в её приложениях. Введение понятия случайной величины значительно расширило возможности теории вероятностей при исследовании случайных явлений. Заслуга широкого внедрения в теорию вероятностей понятия «случайная величина» принадлежит русскому учёному П.Л.Чебышеву.

Приведём ряд примеров случайных величин.

Пример 1: По цели производится 3 выстрела. Число попаданий в цель при трёх выстрелах является случайным.

Случайная величина Х = {число попаданий в цель при трёх выстрелах}.

Случайная величина Х = {число попаданий в цель при трёх выстрелах} в результате опыта может принять следующие частные значения: х₁ = 0; х₂ = 1; х₃ = 2; х₄ = 3.

Эти частные значения случайной величины (рис. 1) могут быть расположены на числовой оси изолированно, причём в определенной последовательности (пронумерованы), и могут быть определены до опыта.

Рис. 1

Пример 2: Стрельба по цели ведётся до первого попадания. Число снарядов, необходимых для получения попадания в цель является случайным.

Случайная величина Y = {число снарядов, необходимых для получения одного попадания}.

Случайная величина Y = {число снарядов, необходимых для получения одного попадания} в результате опыта может принять следующие частные значения:

y₁ = 1; y₂ = 2; y₃ = 3;…y_k = k; y_k+1 = k+1…

Возможные частные значения случайной величины Y = {число снарядов, необходимых для получения одного попадания} (рис. 2) также как и в первом примере могут быть расположены на числовой оси в определенной последовательности изолированно, и могут быть определены до опыта.

Однако в отличие от случайной величины Х, возможных значений случайной величины Y бесконечно много (но при этом счетно, так как их можно пересчитать).

Рис. 2

Пример 3: Производится несколько выстрелов из орудия. Отклонение точек падения снарядов от центра рассеивания снарядов случайно.

Случайная величина Х={удаление точки падения снаряда от центра рассеивания снарядов}.

Рассеивание снарядов неравномерно, симметрично и небеспредельно.

Таким образом, снаряд может упасть в любую точку интервала, ограниченного пределами технического рассеивания снарядов от -4В до +4В.

Следовательно, все числа из этого интервала будут возможными значениями случайной величины Х = {удаления точки падения снарядов от центра рассеивания снарядов (ЦРС)}.

Характерной особенностью данной случайной величины Х (рис. 3) является то, что перечислить все ее частные значения (или все точки интервала числовой оси) не представляется возможным, т.к. их число бесконечно и несчетно. Для подобной случайной величины Х можно указать лишь границы, в которых она может появиться.

Рис. 3

Из приведенных выше примеров мы видим, что случайные величины могут принимать как отдельные (счётные), имеющие конечное или бесконечное множество значений (Примеры 1,2), так и непрерывно заполнять некоторый промежуток числовой оси (иметь несчётное множество возможных значений) (Пример 3).

Исходя из этого, различают следующие типы случайных величин: дискретные (прерывные) и непрерывные.

Дискретная (прерывная) случайная величина – это такая случайная величина, которая в результате испытаний может принимать только отдельные изолированные значения.

Характерными особенностями дискретной случайной величины являются:

1. возможные значения дискретной случайной величины на числовой оси располагаются изолированно;

2. число возможных значений дискретной случайной величины может быть как конечно так и бесконечно, но оно всегда счётно;

3. возможные значения дискретной случайной величины могут быть перечислены заранее до опыта.

Непрерывная случайная величина – это такая случайная величина, которая в результате испытания может принимать любое значения из бесчисленного множества значений некоторого промежутка.

Характерными особенностями непрерывной случайной величины являются:

1. возможные значения непрерывной случайной величины непрерывно заполняют некоторый промежуток числовой оси;

2. возможные значения непрерывной случайной величины нельзя расположить в определенной последовательности (пересчитать), их бесчисленное множество;

3. возможные значения непрерывной случайной величины нельзя перечислить до опыта, возможно указать лишь границы промежутка, в которых она может появиться.

В результате опыта случайная величина может принимать то или иное частное значение. Очевидно, что знание возможных значений случайной величины х₁, х ₂, … х_n ещё не позволяет полностью описать случайную величинуX. Необходимо ответить на вопрос – как часто в результате повторения опыта в одних и тех же условиях следует ожидать появления тех или иных возможных значений случайной величины. Другими словами, какова вероятность появления различных частных значений случайной величины. Причём, для дискретных случайных величин имеется возможность установить ряд этих значений, а для непрерывных – промежутки этих значений.

Вернёмся к примеру 1. Так как несовместные события х₁,=0, х₂=1, х₃=2, х₄=3 образуют полную группу, то должно выполняться условие:

Очевидно, что эта суммарная вероятность каким-то образом распределена между отдельными значениями случайной величины .

С вероятностной точки зрения дискретная случайная величина Х будет полностью описана в том случае, если мы в точности укажем, какой вероятностью обладает каждое из событий: и, а для случайной непрерывной величины вероятность того, что случайная величина примет значение некоторого промежутка числовой оси -.

Таким образом, вводится новое, очень важное понятие теории вероятностей – закон распределения случайной величины.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными частными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Про случайную величину в этом случае говорят, что она подчинена данному закону распределения.

Закон распределения является исчерпывающей вероятностной характеристикой случайной величины, полностью описывающий с вероятностной точки зрения поведение случайной величины.