1. Основные формулы для вычисления вероятностей
Ограниченность классического и статистического способов определения вероятности событий, приемлемых, главным образом, для определения вероятности простых событий, приводит к тому, что в подавляющем большинстве случаев ни один из этих способов в чистом виде для решения задачи определения наступления событий применить не удаётся.
Например, требуется определить вероятность поражения движущегося танка. Определить эту вероятность по частоте наступления события на практике невозможно – необходимо провести большое число стрельб. При этом надо не только определить вероятность попадания в движущийся танк (что сделать не сложно), но и определить вероятность поражения его экипажа, если будет иметь место попадание в танк (а это выполнить на практике невозможно).
Факт сложности или невозможности определения вероятности сложных событий явился стимулом разработки аппарата теории вероятностей, с помощью которого вероятность определяется не прямым, а косвенным методом через вероятность более простых событий.
Сущность косвенного метода определения вероятности сложного события заключается в следующем: вначале анализируют условия испытания и устанавливают события А1, А2, А3,…, Аn, от которых зависит наступление событияВ, как комбинациюВ={А1, А2, А3, …, Аn}. Определяют вероятности наступления простых событийР(А1), Р(А2), Р(А3), …, Р(Аn).После чего определяют вероятности интересующего событияВкак функцию известных или заданных вероятностей.
Р(В) = f(Р(А1), Р(А2), Р(А3), …, Р(Аn))
Однако определению вероятности наступления сложного события как комбинации более простых событий должны предшествовать твёрдые знания правил применения рассмотренных в лекции теорем сложения (объединения) и умножения (пересечения) событий.
Этому вопросу и будет посвящён вопрос нашего занятия.
Пример 1: Огневая задача состоит в поражении либо двух взводов САО на позиции либо центра управления огнём. Используя операции сложения (объединения) и умножения (пересечения) событий представить сложное событиеД={выполнение огневой задачи} как комбинацию простых событий. Результат проиллюстрировать диаграммой Эйлера-Венна.
Решение:
Обозначим через событие А= {поражение первого взвода САО на позиции}, через событиеВ= {поражение второго взвода САО на позиции},С= {поражение центра управления огнём}. Тогда событиеД= {выполнение огневой задачи} определится как поражение либо центра управления огнём (событиеС) либо одновременно первого (событиеА) и второго (событиеВ) взвода САО на позиции, т.е. будет иметь место следующая комбинация событийД= {С+АВ} (рис. 1).
В
А
С
Ω
Рис. 1
Рис. 1
Для решения такого типа задач необходимо усвоить ряд основных свойств, которыми обладают действия над событиями.
Операции сложения (объединения) и умножения (пересечения) событий обладают рядом свойств, аналогичным свойствам сложения и умножения чисел.
1. Переместительное свойство:
А + В = В + А; АВ = ВА
2. Сочетательное свойство:
(А + В) + С = А + (В + С); (АВ)С = А(ВС)
3. Распределительное свойство:
(А + В)С = АС + ВС(рис. 2)
С
С
А
А
=
В
В
Ω
Рис. 2
4. Операции прибавления пустого множества и умножения на пустое множество аналогичны операциям над числами, если считать пустое множество за ноль.
Ряд операций над событиями уже не будут обладать свойствами по аналогии с арифметическими действиями. Например:
5.
(рис. 3)
А
=
В
Ω
Рис. 3
Рис. 3
6.
(рис. 4)
А
=
В
Ω
Рис. 4
7.
(рис. 5)
А
А
В
В
Ω
Ω
а б
Ω
в
Рис. 5
Заключительная часть занятия:
напомнить тему и учебные вопросы занятия;
отметить степень достижения учебных целей;
ответить на возникшие вопросы;
отметить работу группы в целом;
оценить работу студентов;
поставить задачу на подготовку к следующему занятию:
На занятии иметь:
Калькуляторы – на каждого
Приложения