2. Правила умножения вероятностей

Перед рассмотрением правил умножения вероятностей введем ряд новых понятий, которые необходимы для логического понимания производимых над событиями действий.

Событие А называется независимым от события В, если вероятность наступления события А не зависит от того, произошло ли событие В.

Событие А называется зависимым от события В, если вероятность наступления события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Факт зависимости или независимости события устанавливают из анализа условий испытания. В теории вероятностей под зависимостью случайных событий понимают не причинную зависимость, при которой два события выступают по отношению друг к другу как причина и следствие, а вероятностную или стохастическую зависимость. Смысл вероятностной или стохастической зависимости двух событий состоит в том, что при наступлении одного из них другое наступает чаще или реже, чем наступает вообще при реализации данного комплекса условий.

В качестве примеров зависимых событий можно привести следующие:

Пример 3:реализация комплекса условий: выстрел по танку; событие А = {попадание в танк}; реализация комплекса условий– попадание в танк; событие В = {поражение экипажа танка}.

Для появления интересующего события В = {поражение экипажа танка} при реализации комплекса условий – выстрел по танку необходимо появления события А = {попадание в танк}, в то же время при реализации комплекса условий события А = {попадание в танк} не всегда может наступить событие В = {поражение экипажа танка}.

Раз нам требуется определить вероятность совместного наступления двух зависимых событий, одно из которых может наступить только при том условии, что имело место другое из них, вводят понятие условной вероятности события.

Вероятность события В, вычисленная при условии, что имело место другое событие А называется условной вероятностьюсобытия В по отношению к событию А (обозначается Р(ВА)).

Теорема:Вероятность произведения или совместного наступления двух любых случайных событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место.

Пример 4:Вероятность попадания в танк при одном выстреле равна 0,8, вероятность поражения экипажа танка при попадании в танк равна 0,7. Определить вероятность поражения экипажа танка при одном выстреле.

Решение:

Пусть событие А = {попадание в танк при одном выстреле}, а событие В = {поражение экипажа танка}. Интересующее нас событие С = {поражение экипажа танка при одном выстреле} будет иметь место только в том случае, если наступит событие А, при этом наступление события С возможно только тогда, когда одновременно наступят события А и В.

Вероятность наступления события А по условию задачи равна 0,8 (Р(А)=0,8), вероятность наступления события В равна 0,7 (Р(В)=0,7).

Требуется найти вероятность поражения экипажа танка при одном выстреле, которая будет являться произведением вероятностей попадания в танк при одном выстреле и поражении экипажа танка при условии что имело место попадание в него, т.е. Р(С)=Р(АВ).

Применив теорему умножения вероятностей, получим:

Р(АВ) = Р(А)Р(ВА) = 0,80,7 = 0,56.

Вывод:Полученный результат означает, что при проведении достаточно большого числа стрельб в аналогичных условиях по одному выстрелу в каждом в среднем в 56 стрельбах из 100 экипаж танка будет поражён.

Правило умножения вероятностей легко обращается на случай произвольного числа событий:

.

Из данной теоремы вытекает ряд важных следствий.

Следствие 1. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Пример 5: По танку производят по одному выстрелу два орудия. Вероятность попадания в танк первого орудия равна 0,7, второго - 0,4. Найти вероятность того, что в танк попадут два орудия.

Решение:

Пусть событие А = {попадание в танк первым орудием}, а событие В = {попадание в танк вторым орудием}, тогда интересующее нас событие С = {попадание в танк и первым и вторым орудием}.

Вероятность наступления события А по условию задачи равна 0,7 (Р(А)=0,7), вероятность наступления события В равна 0,4 (Р(В)=0,4).

Попадание в танк вторым орудием не зависит от того, попадет ли в танк первое орудие и наоборот, а следовательно события А и В - независимы. Применив следствие из теоремы умножения для независимых событий, получим:

Р(АВ) = Р(А)Р(В) = 0,70,4 = 0,28

Вывод:Полученный результат означает, что при проведении достаточно большого числа стрельб в аналогичных условиях в среднем в 28 стрельбах из 100 в танк попадут два орудия одновременно.

Зависимость и независимость событий всегда взаимны. Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А. Таким образом, можно уточнить данное ранее определение независимых событий. Два события называютсянезависимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого.

Из рассмотренных выше правил сложения и умножения вероятностей вытекает ещё одно очень важное следствие:

Если противоположное событие распадается на меньшее число вариантов, чем прямое событие, то имеет смысл при вычислении вероятностей переходить к противоположному событию:

При рассмотрении вопроса о действиях над событиями на прошлом занятии мы уже рассмотрели доказательство тождества . Переходя к вероятности появления событий, оно примет вид данного выражения.

Пример 6: Два орудия, начиная с первого, ведут последовательно огонь по цели до получения первого попадания. При этом первое орудие может произвести два выстрела, а второе – только один. Вероятность попадания в цель при первом выстреле первого орудия – 0,4, вторым выстрелом – 0,8, вероятность попадания в цель вторым орудием – 0,6. Чему равна вероятность поражения цели?

Решение:

Обозначим за событие А₁= {попадание в танк первым орудием с первого выстрела}, за событие А₂= {попадание в танк первым орудием со второго выстрела}; В = {попадание в танк вторым орудием}.

Тогда интересующее нас событие С ={поражение танка} определится как:

Так как события А₁ ,А₂ ,В несовместны и независимы, то вероятность наступления события С будет равна:

Вывод: полученный результат означает, что при проведении достаточно большого числа испытаний в аналогичных условиях в среднем в 95 случаях из 100, танк будет поражен.