1.4. Теорема Пуассона
В случае, если вероятности появления события А в каждом опыте различны, то справедлива следующая теорема, известная как теорема Пуассона.
Теорема. Если производится п независимых опытов и вероятность появления события А в каждом опыте равна рi, то при увеличении п частота события А сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятностей рi.
1.5. Предельные теоремы
Как уже говорилось, при достаточно большом количестве испытаний, поставленных в одинаковых условиях, характеристики случайных событий и случайных величин становятся почти неслучайными. Это позволяет использовать результаты наблюдений случайных событий для предсказания исхода того или иного опыта.
Предельные теоремы теории вероятностей устанавливают соответствие между теоретическими и экспериментальными характеристиками случайных величин при большом количестве испытаний.
В рассмотренном выше законе больших чисел нечего не говорилось о законе распределения случайных величин.
Поставим задачу нахождения предельного закона распределения суммы
когда число слагаемых п неограниченно возрастает. Эту задачу решает Центральная предельная теорема Ляпунова.
В зависимости от условий распределения случайных величин Xi, образующих сумму, возможны различные формулировки центральной предельной теоремы.
Допустим, что случайные величины Xi взаимно независимы и одинаково распределены.
Теорема.
Если случайные
величины Xi
взаимно независимы и имеют один и тот
же закон распределения с математическим
ожиданием т и дисперсией 2,
причём существует третий
абсолютный момент
3,
то при неограниченном увеличении числа
испытаний п закон распределения суммы
неограниченно приближается к нормальному.
При доказательстве этой теоремы Ляпуновым использовались так называемые характеристические функции.
Определение. Характеристической функцией случайной величины Х называется функция
эта
функция представляет собой математическое
ожидание некоторой комплексной случайной
величины
,
являющейся функцией от случайной
величиныХ.
При решении многих задач удобнее
пользоваться характеристическими
функциями, а не законами распределения.
Зная закон распределения, можно найти характеристическую функцию по формуле (для непрерывных случайных величин):
Как видим, данная формула представляет собой не что иное, как преобразование Фурье для функции плотности распределения. Очевидно, что с помощью обратного преобразования Фурье можно по характеристической функции найти закон распределения.
Введение характеристических функций позволяет упростить операции с числовыми характеристиками случайных величин.
В случае нормального распределения характеристическая функция имеет вид:
Сформулируем некоторые свойства характеристических функций:
Если случайные величины Х и Y связаны соотношением
где а – неслучайный множитель, то
2) Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых.
Случайные величины Xi, рассмотренные в центральной предельной теореме, могут обладать произвольными распределениями вероятностей.