Вопрос №2. Первый и второй законы Кирхгофа. Баланс мощностей. Метод узловых и контурных уравнений (20 мин.)
В электрических цепях, состоящих из последовательно соединенных источника и приемника энергии, соотношение между током, ЭДС и сопротивлением во всей цепи или на каком-либо ее участке определяется законом Ома. Однако на практике преимущественно встречаются такие цепи, в которых токи могут идти по разным путям, т.е. в которых есть узлы (узловые точки), где сходятся несколько проводников. Сложные электрические цепи содержат два и более источников питания. Для расчета параметров таких цепей применяются первый и второй законы Кирхгофа.
Первый закон Кирхгофа: сумма токов, направленных к узлу, равна сумме токов, направленных от узла (рис. 10), или алгебраическая сумма токов в узле равна нулю.
где n – число токов, втекающих в узел и вытекающих из узла.
Со знаком «плюс» записываются токи, втекающие в узел, со знаком «минус» записываются токи, вытекающие из узла.
Рис. 10
Физический смысл первого закона Кирхгофа: в узле схемы не происходит накапливания электрических зарядов, т.е. количество зарядов, притекающих к узлу в единицу времени, равно количеству зарядов, утекающих от узла.
Рассмотрим следующий пример. На рис. 11 приведен участок разветвленной цепи. Какое соотношение будет между токами, изображенными на рисунке?
Рис. 11
Второй закон Кирхгофа: во всяком замкнутом контуре алгебраическая сумма всех ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжения в сопротивлениях, включенных последовательно в эту цепь.
где m – число активных элементов или источников ЭДС, n – число пассивных элементов.
Для составления уравнения второго закона Кирхгофа произвольно задается направление обхода контура. Со знаком «плюс» записываются ЭДС и токи, направление которых совпадает с обходом контура, со знаком «минус» записываются ЭДС и токи, направление которых не совпадает с обходом контура.
При составлении уравнений выбирают произвольно направление обхода цепи против или по часовой стрелке.
Если направления токов в ветвях неизвестны, то при составлении уравнений законов Кирхгофа их необходимо предварительно выбрать произвольно и обозначить на схеме стрелками. В действительности направления токов в ветвях могут и не совпасть с произвольно выбранными. Поэтому выбранные направления токов называют положительными направлениями.
На рис. 12 приведен пример участка замкнутой электрической цепи с несколькими источниками ЭДС. Какое соотношение будет между ЭДС и падениями напряжения на сопротивлениях контура данной электрической цепи?
Рис. 12. Иллюстрация второго закона Кирхгофа
Как уже говорилось выше, законы Кирхгофа позволяют произвести расчет цепи любой сложности. Алгоритм расчета электрических цепей на основе законов Кирхгофа или методом узловых и контурных уравнений содержит следующие этапы:
произвольно задать направление токов в ветвях (токи помечаются стрелками на схеме);
составить n уравнений второго закона Кирхгофа по числу элементарных, т.е. независимых контуров схемы (контуров, которые не входят в другие контуры);
составить (m−1) уравнений первого закона Кирхгофа, где m – число узлов в схеме;
полученную систему уравнений первого и второго законов Кирхгофа решить относительно токов известными математическими методами.
Если в результате решения системы некоторые токи получатся со знаком минус, это означает, что в действительности токи текут в направлениях, обратных указанным на схеме первоначально.
На рис. 13 приведена схема сложной электрической цепи. Необходимо составить необходимое и достаточное число уравнений законов Кирхгофа для данной электрической цепи.
Рис. 13
Согласно алгоритму расчета цепи методом узловых и контурных уравнений решение данной задачи будет содержать следующие этпаы:
1) Обозначим контуры и узлы заданной электрической цепи (рис. 14). Для обозначения узлов и контуров целесообразно использовать буквы.
Данная цепь всего содержит 6 контуров: 3 неэлементарных − gefhg, gbdhg, aefce, и 3 элементарных − gachg, abdca, bеfdb. Цепь содержит 4 узла - a, b, c и d.
Произвольно укажем направление обхода элементарных или независимых контуров: например, в контуре gachg против часовой стрелки, а в контурах abdca и bеfdb – по часовой стрелке.
Рис. 14
2) Произвольно зададим направление токов в ветвях схемы (рис. 15).
Рис. 15
3) Составим уравнения первого закона Кирхгофа. Так как в схеме 4 узла, следовательно, необходимо и достаточно составить уравнения для любых трех узлов, например, для узлов а, b и с:
для узла а:
для узла b:
для узла с:
4) Для 3 независимых контуров составляем уравнения второго закона Кирхгофа:
для
контура gachg:
;
для
контура abdca:
;
для
контура bеfdb:
Таким образом, система уравнений, составленная методом узловых и контурных уравнений, выглядит следующим образом:
;
;
Рассмотрим следующие примеры. Определите сколько узловых и контурных уравнений необходимо составить для определения неизвестных токов в этой схеме?
При расчете сложных цепей приходится проделывать большую вычислительную работу. Правильность окончательного расчета осуществляют с помощью составления баланса мощностей.
Баланс мощностей. Из закона сохранения энергии следует, что мощность, отдаваемая источниками питания, должна равняться мощности, потребляемой сопротивлениями ветвей или приемниками электроэнергии. Таким образом, алгебраическая сумма мощностей источников питания равна арифметической сумме мощностей приемников:
где m – число источников энергии, n – число сопротивлений в цепи.
Если направления ЭДС и тока в ветви совпадают по результатам окончательного расчета, то источник отдает мощность в сеть и в уравнении баланса мощностей перед произведением EkIk ставится знак «плюс». Если ЭДС и ток в ветви направлены встречно, источник потребляет мощность (например, аккумуляторная батарея при зарядке) и произведение EkIk входит в левую часть уравнения со знаком «минус».
В правой части уравнения произведения Ik2Rk всегда положительны.
Для схемы сложной электрической цепи, приведенной на рис. 15, необходимо составить баланс мощностей, при условии сохранения по результатам окончательного расчета указанных на схеме направлений токов в ветвях. Каким будет уравнение баланса мощностей?
Решение:
Законы Кирхгофа положены в основу практически всех методов расчета электрических цепей постоянного тока: метода наложения, метода контурных токов, метода узлового напряжения.
Вывод по второму вопросу: первый и второй законы Кирхгофа положены в основу практические всех методов расчета линейных электрических цепей постоянного тока. Для проверки правильности расчетов сложных электрических цепей постоянного тока используется баланс мощностей.