Матем / 10

 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

 

1.     Основные понятия и определения.

2.     Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными.

3.     Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

4.     Линейные дифференциальные уравнения I порядка.

 

1.   Основные понятия и определения.

Уравнения, связывающие между собой независимую переменную x, искомую функцию y и ее производные различных порядков по x называютсядифференциальными уравнениями.

Порядок старшей производной, входящей в данное дифференциальное уравнение, называется порядком этого уравнения.

Общий вид дифференциального уравнения n-го порядка

          (1)

Решением дифференциального уравнения называется функция     , которая вместе со своими производными  удовлетворяет уравнению (1), т.е. обращает его в тождество.

Процесс отыскания решений называется интегрированием дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения n-го  порядка называется функция  , которая зависит от аргумента x и nнезависимых произвольных постоянных, обращающая вместе со своими производными  уравнение (1) в тождество.

Частным решением уравнения (1) называется решение, которое получается из общего решения, если придавать постоянным  определенные числовые значения.

Основная задача интегрального исчисления – отыскание функции y, производная которой равна данной функции f(x), сводится к решению простейшего дифференциального уравнения.

,   ,  тогда.

Общее решение:  

 

 

2.  Дифференциальные уравнения с  разделяющимися

переменными.

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка:   .      В простейших случаях это уравнение может быть разрешено относительно производной:      .

Общее решение уравнения имеет вид: или.

Дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющими переменными называется уравнение вида

(2)

или уравнение, которое приводится к этому виду.

Пусть.  Разделив обе части уравнения на это произведение, получим                                (3)

В уравнении (3) при dx стоит функция только от x, а при dy  функция от y. В таком случае говорят, что переменные разделены.

Интегрируя, найдем общее решение уравнения (3):

Пример. Решить дифференциальное уравнение   .

Решение.;  ;  ;   ;          ;;     , потенцируя, находим    - общее решение.

 

3.  Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Понятие однородного дифференциального уравнения первого порядка связано с однородными функциями.

Определение. Многочлен называется однородным измерения n, если все его члены имеют одно и то же измерение n, т.е. для каждого члена этого многочлена сумма показателей i+j=n

Определение. Дифференциальное уравнение    или        называется однородным, если функция f(x,y) однородная нулевой степени.

Уравнение запишем в таком виде:.

Введем новую переменную:     или, ,   подставив в уравнение, получим:  .

Однородное дифференциальное уравнение приводится к уравнению с разделяющими переменными.

Следовательно,   .   В  левой части найдем интеграл, затем вместо u подставим отношение   и получим искомое общее решение.

 

5. Линейные дифференциальные уравнения I порядка

 

Определение.  Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно содержит искомую функцию y и ее производную  в первой степени и не содержит их произведений.

Общий вид линейного уравнения первого порядка:

Уравнение интегрируется с помощью подстановки:,                                   тогда     .   Подставив у и у′ в уравнение, получим

.

Сгруппируем члены в левой части равенства

Определим функцию v так, чтобы коэффициент при u обратился в ноль. Тогда  получим два уравнения:

1).;              2).  

Решая 1) находим частное решение, а решая 2) – общее решение.

Таким образом, решение  линейного дифференциального уравнения  сводится к решению двух уравнений с разделяющимися переменными.