Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Карагандинский экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Матем / 5

.docx

Скачиваний:

Добавлен:

26.02.2016

Размер:

104.31 Кб

Скачать

☆

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1. Определение производной.

2. Геометрический и экономический смысл производной.

3. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции.

4. Основные правила дифференцирования.

5. Производная сложной и обратной функции.

6. Таблица производных.

7. Производные высших порядков.

8. Дифференциал функции.

1. Определение производной.

Пусть y=f(x) непрерывная функция от х. Дадим аргументу х приращение, тогда функция y получит приращение. Составим отношение. Это отношение есть некоторая функция от. Может случиться, что эта функция имеет предел при, т.е. существует

Этот предел называется производной от данной функции y и обычно обозначается через:

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, если этот предел существует и конечен.

Действие нахождения производной называется дифференцированием, а функция, имеющая конечную производную, называется дифференцируемой.

1. Геометрический и экономический смысл

производной.

Геометрический смысл производной: для данной функции y=f(x) ее производная для каждого значения х равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в соответствующей точке.

Экономический смысл производной.

Пусть предприятие выпускает однородную продукцию. Тогда издержки производства y можно считать функцией количества выпускаемой продукции x, y=f(x). Предположим, что количество выпускаемой продукции изменилось на, тогда издержки производства изменяются на:.

Разделим приращение издержек производства на приращение выпускаемой продукции:. Это равенство выражает среднее приращение издержек производства на единицу приращенной продукции, перейдем к пределy,

Этот предел в экономике называется предельными издержками производства. Таким образом, производная выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.

Аналогичным образом могут быть определены предельная выручка, предельный доход, предельный продукт, предельная полезность и другие предельные величины.

3. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции.

Функция y=f(x) называется непрерывной в точке, если . Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке, если она имеет производную, т.е.

Между этими понятиями существует связь.

Теорема: Если функция дифференцируема в некоторой точке, то в этой точке функция непрерывна. Обратное утверждение неверно: непрерывная функция может не иметь производной.

Следствие: Если функция не является непрерывной в некоторой точке, то она не имеет производной в этой точке.

4. Основные правила дифференцирования.

1. Производная постоянной величины равна 0.

2. Производная алгебраической суммы нескольких дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций.

3. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведения каждой функции на производную другой функции.

Следствия:

а) Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

б) Производная произведения любого числа дифференцируемых функций равна сумме произведения производной каждой функции на произведение всех остальных функций.

;

4. Производная частного равна производной числителя, умноженной на знаменатель, минус производная знаменателя, умноженная на числитель, и все это деленное на квадрат знаменателя.

Следствия: 1); 2) .

5. Производная сложной и обратной функции.

1. Производная сложной функции равна произведению производных от функций, составляющих данную функцию.

, - дифференцируемые функции. Тогда

2. Производная обратной функции. Пусть нам дана дифференцируемая функция y= f(x). Если y рассматривать как аргумент, а x- функцию, то новая функция называется обратной по отношению к y. Зная производную функции y= f(x) , можно найти производную обратной функции, предполагая, что обратная функция существует и непрерывна.

Теорема. Для дифференцируемой функции с производной не равной 0, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции .

6. Таблица производных.

№ Функция y Производная

1 0

2 1

Примеры: Найти производную функций:

а)

Воспользуемся формулами а также свойством производной, что постоянный множитель можно выносить за знак производной.

б)

Это сложная степенная функция. Обозначим, тогда. Воспользуемся производной сложной функции.

7 . Производные высших порядков.

Производная у′ =f ′(x) называется производной первого порядка. Если f ′(x) дифференцируема, то ее производная обозначается символом у″ =f ″(x)и называется производной второго порядка.

Производная от производной первого порядка называется производной второго порядка.

Если, то вторая производная обозначается

Производная n-го порядка есть производная от производной (n-1) порядка.

8. Дифференциал функции.

Пусть функция y=f(x) дифференцируема при некотором значении х. Следовательно, в точке х существует конечная производная По определению предела имеем

Отсюда находим .

y′ от не зависит, она остается постоянной при

Если то - является бесконечно малой величиной того же порядка малости, что и. - бесконечно малая величина более высокого порядка малости, чем первое слагаемое. Поэтому величину () называют главной, линейной относительно частью приращения функции; чем меньше, тем большую долю приращения составляет это выражение. Поэтому при малых значениях приращение функции можно заменить, т.е.

Эту главную часть приращения функции называют дифференциалом функции в точке х и обозначают dy или df(x), следовательно, или

Дифференциал равен произведению ее производной на приращение независимой переменной.

Если f(x)=x, тогда dx=x′=, т.е. .

Окончательно можно записать:

Из изложенного выше следует, что, т.е. приращение функции отличается от дифференциала на бесконечно малую величину более высокого порядка, чем. Поэтому при достаточно малых значениях имеем, т.е., откуда получаем формулу: