Матем / 9

Тесты главы:  1. Математика в экономике 3кр 2руб13.12.2010(N)p с 2012-09-01 по 2012-12-29.     Пройти тест     Результаты теста 

 

 

ФУНКЦИИ  НЕСКОЛЬКИХ

ПЕРЕМЕННЫХ

 

1.    Основные понятия и определения.

2.    Частные и полные приращения функции.

3.    Частные производные.

4.    Дифференциал функции.

5.    Экстремум функции нескольких переменных.

6.    Производная по направлению.

7.    Градиент функции.

 

 

1.  Основные понятия и определения.

Определение. Переменная величина  Z называется функцией двух переменных величин х и у, если каждой паре значений х и у соответствует единственное значение z.

Функция двух переменных обозначается таким образом:   Z = f ( х, у ).

Систему значений х и у называют точкой М(х,у), а функцию двух переменных – функцией точки: Z = f ( М ).

Геометрическим изображением функции двух переменных является некоторая поверхность в пространстве. Значение функции  Z = f ( х, у )  при х =а,  у = в обозначается f ( а, в ).

Определение. Переменная величина  U называется функцией трех переменных  х, у, z, если каждой тройке значений х, у и z соответствует  единственное  значение U.

Обозначение: U = f (х, у, z).

Аналогично  для  n  переменных:   U = f (х, у, z,…….., t).

Замечание:  Для обозначения независимых переменных и функций могут быть использованы различные символы.

Например, функцию двух переменных можно записать в виде

у = f (х₁, х₂),  а  функцию n переменных – в виде:  у = f (х₁, х_{2, ……..,} х_n ).

Определение: Функция n  независимых переменных, устанавливающая зависимость между затратами n производственных ресурсов и объемом выпускаемой продукции, называется  n- факторной производственной функцией (функцией выпуска):  у = F(х₁, х_{2, ……..,} х_n ).

При моделировании экономики страны рассматривают следующую макроэкономическую двухфакторную производственную функцию: Y = F ( K, L ), где L – затраты  труда,    K – объем производственных фондов.

Определение.  Совокупность всех точек, в которых определена функция нескольких переменных, называется областью определения функции.

Для функции двух переменных  областью определения является некоторая часть координатной плоскости, ограниченная одной или несколькими линиями, для функции трех переменных – часть пространства.

Определение. Линией уровня функции z = f (х, у) называется линия на плоскости ОХУ, в точках которой функция сохраняет постоянное значение.

Определение. Линии уровня производственных функций называются линиями постоянного выпуска или изоквантами.

Изокванты  используются в задачах экономической теории.

 

2.  Частные и полные приращения функции.

Частные приращения функции  Z = f ( х, у )  по переменным х и у определяются формулами:

_х Z = f ( х + х, у ) - f ( х, у );        _у Z = f ( х , у + у ) - f ( х, у ).

Полное приращение функции  Z = f ( х, у ):

 Z = f ( х + х, у +  у ) - f ( х, у )

Полное приращение функции  U = f ( х, у , z ):

 U = f ( х + х, у +  у, z +  z ) - f ( х, у ,z  )

 

3.  Частные производные.

Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению данной переменной, когда последнее приращение  стремится к нулю.

,   - частная производная по х.

- частная производная по y.

При нахождении частной производной пользуются правилами дифференцирования функции одной переменной, считая все другие аргументы постоянными.

Для функции нескольких переменных можно определить производные от производных, т.е. производные высших порядков.

Для производных второго порядка функции  приняты следующие обозначения:

- функция дифференцируется по x последовательно два раза, считая y постоянной величиной;

- функция сначала дифференцируется по x, а затем результат дифференцируется по y;

- функция последовательно дифференцируется по y два раза.

Следует иметь в виду, что  при условии, что они непрерывны. Производные  называются смешанными.

Аналогично вводятся частные производные 3-го и т.д. порядков.

 

4.    Дифференциал функции.

Полный дифференциал функции вычисляется по формуле:  ,  причем  .

Пример. Найти полный дифференциал функции  .

Решение. .   Найдем частные производные.

- вычислим производную по x, считая  y  постоянным.

.

- вычислим производную по y, считая  x  постоянным.

.

Тогда .

 

5.   Экстремум функции нескольких переменных.

Определение. Максимумом (минимумом) функции  называется такое ее значение , которое больше (меньше) всех других значений, принимаемых ее в точках, достаточно близких к точке  и отличных от нее.

Максимум или минимум функции называется ее экстремумом.

Необходимые условия экстремума.

Экстремум функции нескольких переменных может достигаться лишь в точках, лежащих внутри области ее определения, в которых все частные производные первого порядка обращаются в нуль. Такие точки называются стационарными (критическими).

Для функции двух переменных стационарные точки находятся из системы уравнений:

.    Это необходимое условие экстремума.

Достаточные условия экстремума.

Достаточные условия  экстремума для функции  выражаются с помощью определителя:

, где

,

а именно:

1)     Если , то - точка экстремума:

при A<0 (или C<0) - точка max,

при A<0 (или C>0) - точка min,

2)     если, то в точке  нет экстремума;

3)     если, то вопрос о наличии или отсутствии экстремума функции остается открытым.

 

6.  Производная по направлению.

Пусть функция  определена в некоторой окрестности        т. М(х,у), L – направление, задаваемое единичным  вектором  e(cosα, cosβ), где, т.к. α+β=π/2,     α и β - углы, образуемые вектором е с  осями координат. При перемещении в направлении  L  точки М(х,у) до точки

М₁ (х+Δх, у+Δу) функция  получит приращение               Δ _L z:   Δ _L z.=f(х+Δх, у+Δу) – f(x,y), которое называется приращением функции в направлении L.

Если ММ₁  = ΔL,  то Δx= ΔLcosα ,  Δy= ΔLcosβ,тогда

Δ _L z.=f(х+ ΔLcosα , у+ ΔLcosβ) – f(x,y).

Определение. Производной z^′_L по направлению L функции  называется предел отношения приращения функции в этом направлении к величине  приращения ΔL  при ΔL→  0, т.е.

.

 

z′_L характеризует скорость изменения функции в направлении L.

 

7. Градиент функции.

Определение. Градиентом функции z=f(x,y) называется вектор с координатами (z′_х, z′_у):

Производная по направлению есть скалярное произведение градиента и единичного вектора: