Численные методы _методичка
.pdfРешение в Mathcad:
Given |
|
|
|
|
|||||
2x1 + 4x2 − 2x3 |
|
|
|
|
8 |
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
3x1 − 5x2 + 3x3 |
|
|
|
|
10 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|||||||
− 6x1 + 2x2 + 7x3 |
|
|
18 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
||||||||
æ |
|
306 |
ö |
||||||
ç |
95 |
÷ |
|||||||
ç |
254 |
÷ |
|||||||
Find ( x1 , x2 , x3 ) → ç |
÷ |
||||||||
ç |
95 |
÷ |
|||||||
ç |
434 |
÷ |
|||||||
è |
95 |
ø |
|||||||
Нахождение обратной матрицы A
Обратной к квадратной матрице A порядка n , называется
матрица A−1 того же порядка, если: A−1 × A = A × A−1 = E , где E - единичная матрица порядка n .
Квадратная матрица A называется невырожденной, если её
определитель | A |¹ 0 . Обратная матрица всегда существует для невырожденных матриц.
Одним из методов вычислений обратной матрицы являются: метод элементарных преобразований. Для данной квадратной
матрицы A порядка n строится прямоугольная матрица (A | E)
размера n × 2n приписыванием к A справа единичной матрицы. Далее, с помощью элементарных преобразований над строками,
матрица (A | E) |
приводится к виду(E | A−1 ) , что всегда возможно, |
||||
если A - невырожденная. |
|||||
|
|
Пример. Найти матрицу, обратную к матрице А |
|||
|
æ 1 |
3 |
- 5ö |
||
A = |
ç |
2 |
4 |
7 |
÷ |
ç |
÷ |
||||
|
ç |
- 4 |
2 |
6 |
÷ |
|
è |
ø |
|||
|
|
|
|
|
11 |
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
x1 |
|
x2 |
|
|
x3 |
|
|
|
Є1 |
|
Є2 |
Є3 |
|
1.000 |
|
|
3.000 |
|
-5.000 |
|
|
|
1 |
0 |
0 |
||
2.000 |
|
|
4.000 |
|
7.000 |
|
|
|
0 |
1 |
0 |
||
-4.000 |
|
|
2.000 |
|
6.000 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
||
1.000 |
|
|
3.000 |
|
-5.000 |
|
|
|
1 |
0 |
0 |
||
0.000 |
|
-2.000 |
|
17.000 |
|
|
-2.000 |
1.000 |
0.000 |
||||
0.000 |
|
14.000 |
|
-14.000 |
|
|
4.000 |
0.000 |
1.000 |
||||
1.000 |
|
|
0.000 |
|
20.500 |
|
|
-2.000 |
1.500 |
0.000 |
|||
0.000 |
|
|
1.000 |
|
-8.500 |
|
|
1.000 |
-0.500 |
0.000 |
|||
0.000 |
|
|
0.000 |
|
105.000 |
|
|
-10.000 |
7.000 |
1.000 |
|||
1.000 |
|
|
0.000 |
|
0.000 |
|
|
-0.048 |
0.133 |
-0.195 |
|||
0.000 |
|
|
1.000 |
|
0.000 |
|
|
0.190 |
0.067 |
0.081 |
|||
0.000 |
|
|
0.000 |
|
1.000 |
|
|
-0.095 |
0.067 |
0.010 |
|||
|
|
æ- 0.048 |
0.133 |
- 0.195ö |
|
|
|||||||
|
|
ç |
0.190 |
0.067 |
0.081 |
÷ |
|
|
|||||
A−1 = ç |
÷ обратная матрица |
||||||||||||
|
|
ç |
- 0.095 |
0.067 |
0.010 |
÷ |
|
|
|||||
|
|
è |
ø |
|
|
||||||||
Решение в Mathcad: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
æ |
1 |
3 |
−5 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
2 |
4 |
7 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
A := ç |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ç |
−4 |
2 |
6 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
æ |
−0.048 |
0.133 |
−0.195 ö |
|
|
|
|||||
A− 1 |
ç |
0.19 |
|
0.067 |
0.081 |
÷ |
|
|
|
||||
= ç |
|
÷ |
|
|
|
||||||||
|
|
ç |
−0.095 |
0.067 |
0.01 |
÷ |
|
|
|
||||
|
|
è |
ø |
|
|
|
|||||||
Лабораторная работа № 6 Метод простых итераций
Рассмотрим систему линейных уравнений вида |
|
Ax = B |
(1) |
где А – заданная квадратная матрица n – го порядка, B Rn - заданный вектор (свободный член).
12
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
Для сходимости итерационного процесса достаточно, чтобы
модули диагональных коэффициентов для каждого уравнения системы были не меньше сумм модулей всех остальных коэффициентов:
|
aij |
|
|
³ å |
|
aij |
|
, i =1,2,...,n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i ¹ j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При этом хотя бы для одного уравнения неравенство должно |
|||||||||||||||||||||||||||
выполняться строго. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Выразим неизвестные х1,х2,…,xn из уравнений системы (1). |
|||||||||||||||||||||||||||
|
x1 |
= |
1 |
|
(b1 |
− a12 x2 |
− a13 x3 − ....− a1n xn ) |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
a11 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x2 |
= |
1 |
|
|
(b2 |
|
|
− a21 x1 |
− a23 x3 |
− ....− a2n xn ) |
|
|
||||||||||||||
|
|
a22 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
..... |
|
|
|
|
..... ..... |
|
|
..... ..... |
|
|
..... |
|
|||||||||||||||
|
x |
|
= |
1 |
|
|
(b |
|
|
|
− a |
x |
− a |
|
x |
|
− ....− a |
nn−1 |
x |
n−1 |
) |
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
n |
|
|
n2 |
2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ann |
|
|
|
|
|
|
|
n1 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Сx k −1 + D |
|
|||
Т.о. привели систему (1) к виду: |
xk |
|
|
||||||||||||||||||||||||
Метод простых итераций заключается в следующем. |
|||||||||||||||||||||||||||
Выбирается |
|
|
|
произвольный |
|
вектор |
|
|
x0 Î Rn |
(начальное |
|||||||||||||||||
приближение) и строится итерационная последовательность векторов x1(1) , x2(1) ,..., xn(1) . Используя полученные значения, можно провести вторую итерацию и т.д. Итерационный процесс
продолжается до тех пор, пока значения x(k ) , x(k ) ,..., x(k ) |
не станут |
|||||
|
|
|
1 |
2 |
n |
|
близкими |
с |
определенной |
точностью |
|
к |
значениям |
x1(k −1) , x2(k −1) ,..., xn(k −1) .
Пример. Решить систему линейных уравнений методом простых итераций с точностью 0,001.
ì6x1 + 3x2 - 4x3 = 16
ïí- 2x1 + 7x2 + 6x3 = 9 ïî4x1 - 4x2 + 6x3 = 14
13
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
Составим расширенную матрицу системы:
6.000 |
3.000 |
-4.000 |
16.000 |
-2.000 |
7.000 |
6.000 |
9.000 |
4.000 |
-4.000 |
6.000 |
14.000 |
В данной системе уравнений не выполняется достаточное условие сходимости. Необходимо выполнить преобразования: к первой строке прибавим третью, ко второй строке прибавим первую, третью строку умножим на (-1) и прибавим к первой.
10.000 |
|
-1.000 |
2.000 |
|
30.000 |
|
|
|
|
|||
|
4.000 |
|
10.000 |
2.000 |
|
25.000 |
|
|
|
|
||
|
2.000 |
|
7.000 |
-10.000 |
|
2.000 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.000 |
|
0.100 |
-0.200 |
|
3.000 |
|
|
|
|
||
-0.400 |
|
0.000 |
-0.200 |
|
2.500 |
|
|
|
|
|||
|
0.200 |
|
0.700 |
0.000 |
|
-0.200 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
X1 |
X2 |
|
X3 |
|
Є1 |
|
Є2 |
Є3 |
Є |
|
0 |
|
0.000 |
0.000 |
|
0.000 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3.000 |
2.500 |
|
-0.200 |
|
3.000 |
|
2.500 |
-0.200 |
3.000 |
|
2 |
|
3.290 |
1.340 |
|
2.150 |
|
0.290 |
|
-1.160 |
2.350 |
2.350 |
|
3 |
|
2.704 |
0.754 |
|
1.396 |
|
-0.586 |
|
-0.586 |
-0.754 |
0.586 |
|
4 |
|
2.796 |
1.139 |
|
0.869 |
|
0.092 |
|
0.385 |
-0.527 |
0.385 |
|
5 |
|
2.940 |
1.208 |
|
1.157 |
|
0.144 |
|
0.069 |
0.288 |
0.288 |
|
6 |
|
2.889 |
1.093 |
|
1.234 |
|
-0.051 |
|
-0.115 |
0.077 |
0.077 |
|
7 |
|
2.863 |
1.098 |
|
1.143 |
|
-0.027 |
|
0.005 |
-0.091 |
0.005 |
|
8 |
|
2.881 |
1.126 |
|
1.141 |
|
0.019 |
|
0.029 |
-0.002 |
0.029 |
|
9 |
|
2.884 |
1.119 |
|
1.165 |
|
0.003 |
|
-0.007 |
0.024 |
0.024 |
|
10 |
|
2.879 |
1.113 |
|
1.160 |
|
-0.006 |
|
-0.006 |
-0.004 |
0.004 |
|
11 |
|
2.879 |
1.116 |
|
1.155 |
|
0.000 |
|
0.003 |
-0.005 |
0.003 |
|
12 |
|
2.881 |
1.117 |
|
1.157 |
|
0.001 |
|
0.001 |
0.002 |
0.002 |
|
13 |
|
2.880 |
1.116 |
|
1.158 |
|
0.000 |
|
-0.001 |
0.001 |
0.001 |
|
14 |
|
2.880 |
1.116 |
|
1.157 |
|
0.000 |
|
0.000 |
-0.001 |
0.000 |
|
14
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
Где εir = Xir − Xir −1
Решение системы: х1 = 2,880; х2 = 1,116; х3 = 1,157
Тема 3. Интерполирование функций
Лабораторная работа № 7 Метод Лагранжа
В результате экспериментальных исследований часто получают таблицу значений некоторой функции f (x) при
фиксированных значениях аргумента xi , т.е. f (xi ) (i=0,1,…,п). Аналитическая зависимость между xi и f (xi ) неизвестна, что не позволяет вычислить значения функции f (x) в промежуточных точках, отличающихся от экспериментальных точек xi (i=0,1,…,п).
Для отыскания этих значений строят аппроксимирующую (приближающую) функцию ϕ(х). Построение функции ϕ(х)
называется интерполированием.
Наиболее часто в качестве интерполирующих функций ϕ(х) применяют алгебраические многочлены. Алгебраическое
интерполирование функции f (x) , заданной своими значениями
f(х0), f(х1),. ..., f(хn) в точках x0, x1, ..., хп, называемых узлами интерполяции, состоит в приближенной замене этой функции
многочленом степени п, |
который в точках |
xi принимает те же |
||||||
значения, что и функция |
f (x) : |
|
|
|
|
|||
Многочленом степени п, принимающим в точках xi , отрезка |
||||||||
[a,b] |
значения f (xi ) |
(i=0,1,...,п), |
является интерполяционный |
|||||
многочлен Лагранжа: |
|
|
|
|
|
|||
|
n |
(x − x0 )K(x − xi−1 )(x − xi+1 )K(x − xn ) |
|
|
||||
Ln (x) = å |
|
|
|
|
|
f (xi ) |
||
(xi − x0 )K(xi − xi−1 )(xi − xi+1 )K(xi − xn ) |
||||||||
|
i=0 |
|
||||||
В |
остальных |
точках |
отрезка |
[a,b] |
разность |
|||
N(x) = |
f (x) − Ln (x) , которая называется |
остаточным |
|
членом |
||||
интерполяции, представляет погрешность метода.
15
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
Пример. Найти приближенное значение функции при данном значении аргумента x=0,521 с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа, если функция задана в неравноотстоящих узлах таблицы.
x |
y |
0,05 |
1,68456 |
0,47 |
1,78456 |
0,54 |
1,89456 |
0,64 |
2,01578 |
0,71 |
2,24879 |
0,78 |
2,25781 |
|
|
Ri = (x − x0 )K(x − xi−1 )(x − xi+1 )K(x − xn )
Di = (xi − x0)(xi − x1)...(xi − xi−1)(xi |
− xi+1)...(xi − xn) |
|
|
|||||||||
i |
x-xi |
x0-xi |
x1-xi |
x2-xi |
|
x3-xi |
x4-xi |
x5-xi |
Ri |
Ri*yi/Di |
||
0 |
0,471 |
1,000 |
0,420 |
0,490 |
|
|
0,590 |
0,660 |
0,730 |
0,00001 |
-0,00016 |
|
1 |
0,051 |
-0,420 |
1,000 |
0,070 |
|
|
0,170 |
0,240 |
0,310 |
0,00005 |
0,25018 |
|
2 |
-0,019 |
-0,490 |
-0,070 |
1,000 |
|
|
0,100 |
0,170 |
0,240 |
-0,00014 |
1,89432 |
|
3 |
-0,119 |
-0,590 |
-0,170 |
-0,100 |
|
|
1,000 |
0,070 |
0,140 |
-0,00002 |
-0,45817 |
|
4 |
-0,189 |
-0,660 |
-0,240 |
-0,170 |
|
|
-0,070 |
1,000 |
0,070 |
-0,00001 |
0,23974 |
|
5 |
-0,259 |
-0,730 |
-0,310 |
-0,240 |
|
|
-0,140 |
-0,070 |
1,000 |
-0,00001 |
-0,04354 |
|
|
Di |
-0,059 |
0,000 |
0,000 |
|
|
0,000 |
0,000 |
0,001 |
|
1,882 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сумма |
|
|
|
|
5 |
Ri |
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, f (0,521) = å |
yi |
≈ 1,882366 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
i=0 Di |
|
|
|
|
|
|||
16
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
Варианты заданий к лабораторным работам
Лабораторная работа № 1-4
№вар. |
|
1-2 |
|
|
3-4 |
1 |
x 2 − 5 sin x |
= 0 |
|
x3 − 6x2 − 3x + 15 = 0 |
|
|
|
||||
2 |
tg 9 x − 13x |
= 0 |
|
x3 − 3x2 − x + 7 = 0 |
|
|
|
|
|
||
3 |
ln(8,5x) − 9,6x + 2 = 0 |
|
2x3 − 3x2 − x + 8 = 0 |
||
|
|
|
|
||
4 |
0,5 sin 5x − 5x = 0 |
|
1,5x3 + x2 − 3x + 1 = 0 |
||
|
|
|
|
||
5 |
0,5e− 0,7 x − x = 0 |
|
x3 + 0,6x2 + x + 5 = 0 |
||
|
|
||||
6 |
x2 − 10 sin x = 0 |
|
x3 + 0,2x2 + 1,5 = 0 |
||
|
|
||||
7 |
tg 0,9 x − 1,4 x = 0 |
|
x3 − 2x + 8 = 0 |
||
|
|
|
|
||
8 |
ln(0,3x) − 0,3x + 0,5 = 0 |
|
x3 − 2,6x2 − 3x − 4 = 0 |
||
|
|
|
|
||
9 |
10 sin 7 x − 7 x = 0 |
|
x3 − 3x + 3,2 = 0 |
||
|
|
|
|
||
10 |
e− 0,5x − x = 0 |
|
x3 + 8x2 − x + 11 = 0 |
||
|
|
||||
11 |
x − e− 0,1x = 0 |
|
x3 − x2 − x − 1 = 0 |
||
|
|
||||
12 |
10x − e x = 0 |
|
x3 − 6x2 − 3x + 15 = 0 |
||
|
|
||||
13 |
ln(0,1x + 2) − 3x + 4 = 0 |
|
4x3 + x2 − 3x + 7 = 0 |
||
|
|
|
|
||
14 |
4 sin 3,8x − 3,25x = 0 |
|
x3 + 0,7x2 + x + 2 = 0 |
||
|
|
|
|
||
15 |
tg 3x − 5 x |
= 0 |
|
3 |
+ 6x − 12 = 0 |
|
|
||||
|
|
|
|
x |
|
16 |
0,9e− 0,5x − x = 0 |
|
x3 + 12x2 + 9x + 3 = 0 |
||
|
|
||||
|
|
|
17 |
|
|
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
17 |
x2 − 3 sin x = 0 |
x3 − 3,6x2 − 4x + 1 = 0 |
||
|
||||
18 |
ln(1,3x + 25) − 8x + 3 = 0 |
x3 + 0,2x2 − x + 6 = 0 |
||
|
|
|
|
|
19 |
15x − e x = 0 |
0,1x3 + 0,4x2 + x = 0 |
||
|
||||
20 |
tg(10x + 4 ) − x2 = 0 |
x3 + 12x + 5 = 0 |
||
|
||||
21 |
6sin(5x + 1) − 5x −1 = 0 |
x3 + x2 + 7x + 7 = 0 |
||
|
|
|
|
|
22 |
x + 2 − 4 sin x = 0 |
x3 + 0,4x2 − 9x − 3 = 0 |
||
|
|
|
|
|
23 |
− 10x − 2e x = 0 |
x3 − 15x + 9 = 0 |
||
|
||||
24 |
ln(0,1x + 4) − 3x = 0 |
x3 − 4x2 + 0,3x − 5 = 0 |
||
|
|
|
|
|
25 |
15x − e x = 0 |
0,5x3 + 0,1x2 − x + 1 = 0 |
||
|
||||
26 |
tg(9,5x + 20) − x2 = 0 |
x3 − 9x2 + 5x − 7 = 0 |
||
|
||||
27 |
5sin(4,5x) − 9x − 5 = 0 |
x3 − 3x2 + x + 4,5 = 0 |
||
|
|
|
|
|
28 |
x − e− x = 0 |
x3 + 0,8x2 − 6x − 2,3 = 0 |
||
|
||||
29 |
|
x |
|
x3 + 0,6x2 + x + 5 = 0 |
|
ctgx − |
= 0 |
||
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
30 |
ctgx − x2 |
= 0 |
x3 − 0,4x2 + x − 1 = 0 |
|
|
||||
18
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
Лабораторная работа № 5
|
1.5x |
+1.6x |
|
|
|
|
|
- 5.1x |
|
|
- 7.8x |
|
|
= 11.1 |
|
ì30.1x |
|
-1.4x |
|
|
+10x |
|
|
|
-1.5x |
|
|
|
|
= 10 |
|||||||||||||||||||||
|
ì |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
3 |
|
4 |
|
||||||||||||||||||||||||
№1 |
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
ï-10x1+1.5x2 -20x3 -2.4x4 =7.5 |
№16ïï-17.5x1+11.1x2 +1.3x3 -7.5x4 =1.3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
í |
|
-1.4x2 +8.9x3 +4.2x4 =1.5 |
|
í1.7x -21.1x |
|
|
+7.1x |
|
|
|
-17.4x |
|
|
|
=10 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ï2.3x1 |
|
2 |
3 |
|
4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ïx |
+ 3.4x |
|
-12.1x |
|
-14x |
|
|
|
= -8.1 |
|
ï |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2 |
3 |
4 |
|
|
ï |
2.1x |
|
+ 2.1x |
|
|
|
+ 3.5x |
|
|
|
|
+ 3.3x |
|
|
|
|
= 1.7 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
î 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
2 |
3 |
|
4 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
ì3.5x1 + 7.8x2 - 9.1x3 - 8.7x4 = 1 |
№17 |
ì7.3x1 - 8.1x2 +12.7x3 - 6.7x4 =8.8 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№2 |
ï |
|
+1.3x2 -2x3 -1.4x4 =1.5 |
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
ï-7x1 |
|
ï11.5x1+6.2x2 -8.3x3+9.2x4 =21.5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
í |
|
-5.4x2 |
+4.3x3 -2.5x4 =6.2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
ï2.8x1-1.2x2 +4.9x3 +4.8x4 =1.7 |
|
ï8.2x1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ï |
|
+1.4x2 - 2x3 - x4 = -1.1 |
|
ï |
|
+11.5x2 - 3.3x3 +14.2x4 = -6.2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
î10x1 |
|
î2.4x1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№3 |
ì5x1 +1.2x2 - 7.1x3 - 7.9x4 = 1.5 |
№18 |
ì4.8x1 +12.5x2 - 6.3x3 - 9.7x4 = 3.5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ïï6.3x |
+1.5x |
|
2 |
|
-2.8x -1.7x |
4 |
=-1.9 |
ïï22x -31.7x |
2 |
+12.4x |
3 |
|
-8.7x |
|
4 |
=4.6 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
í |
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
í |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
-1.7x2 +2.9x3 +4.6x4 =11.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
ï7.8x1 |
|
ï15x1+21.1x2 -4.5x3 +14.4x4 =15 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ï4.5x |
+ 8.4x |
2 |
- 2.1x |
|
-10x |
4 |
= -1.1 |
|
ï8.6x |
|
+ 31.4x |
2 |
- 2.1x |
|
|
|
-10x |
4 |
|
= 10.1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
î |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
ì8.6x1 + 5.6x2 - 2.1x3 + 7.7x4 = 1.1 |
|
ì6.4x1 + 7.2x2 -8.3x3 + 4.2x4 = 2.23 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№4ïï-5.3x +3x |
2 |
|
-2x -1.4x |
4 |
|
=1.5 |
№19ïï5.8x -8.3x |
2 |
|
+14.3x -6.2x |
4 |
|
=17.1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
í |
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
í |
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
-1.7x2 +2.8x3 +4.8x4 =1.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
ï2.6x1 |
|
ï8.6x1+7.7x2 -18.3x3+8.8x4 =-5.4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ï |
|
+ 3.7x2 - 2.1x3 - x4 = -1.1 |
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-6.5x3 |
|
+12.2x4 = 6.5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
î7.8x1 |
|
î13.2x1 -5.2x2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№5 |
ì8.6x |
+1.8x |
2 |
|
- 2.1x |
|
+ 4.6x |
4 |
= 1 |
|
ì14.2x |
|
+ 3.2x |
|
- 4.2x |
|
|
+8.5x |
4 |
=1.1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
ï |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
№20 |
ï |
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
ï- 6x |
+1.3x |
2 |
|
- 20x |
|
-1.5x |
4 |
= 1.8 |
ï6.3x |
|
-4.3x |
2 |
-12.7x |
|
|
|
-5.8x |
4 |
=4.4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
í |
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
-1.7x2 +9.9x3 +4.8x4 =1.8 |
|
í4.8x -22.3x +5.2x |
|
|
+4.7x |
|
|
|
=1.2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ï2.9x1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
- 8.61x |
|
- 7.1x |
|
= 4.1 |
|
ï |
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
ï12x + 3.4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
î |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
î2.7x1 +13.7x2 - 2.7x3 -12x4 = 8.5 |
||||||||||||||||||||||||||||||
№6 |
ì4.9x |
+1.8x |
2 |
|
- 8.9x |
|
- 2.3x |
4 |
= 1.8 |
|
ì7.3x +12.4x |
2 |
-3.8x |
|
|
|
-14.3x |
4 |
= 5.8 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
ï |
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
№21 |
ï |
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
ï-10x1+1.3x2 -20x3 -1.4x4 =1.9 |
ï10.7x -7.7x |
2 |
+12.5x +6.6x |
4 |
=-6.6 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
í15.6x +6.6x |
|
|
|
+14.4x |
|
-8.7x |
|
|
|
|
=12.4 |
||||||||||||||||
|
ï2.9x1-1.7x2 +8.2x3 +4.8x4 =4.6 |
|
2 |
|
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ï |
|
+ 4.74x2 - 2.1x3 - 7x4 = -3.8 |
|
ï |
|
1 |
|
|
|
|
-8.3x |
3 |
|
|
|
|
|
|
= 9.2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
î5.3x1 |
|
ï7.5x +12.2x |
2 |
|
|
|
+3.7x |
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
№7 |
ì9.1x1 +1.4x2 - 2.1x3 - 7.7x4 = 7.1 |
№22 |
ì12.2x1 + 8.3x2 - 4.4x3 + 6.2x4 = 6.8 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ï |
|
|
|
|
|
|
|
-20x |
-1.4x |
|
|
=1.5 |
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-5.6x |
+7.7x =1.5 |
|||||||||||||||||||||||||||
ï8.1x +1.3x |
2 |
4 |
ï-8.3x +4.2x |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
í |
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
í |
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
-5.9x2 +3.9x3 +4.8x4 =1.2 |
|
|
-3.7x2 |
+12.4x3+6.2x4 =8.7 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ï2.8x1 |
|
ï5.8x1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ï10x + 7.1x |
2 |
|
- 2.1x |
|
-10x |
4 |
|
= -9.5 |
|
ï3.5x |
+ 6.6x |
2 |
|
-13.8x |
|
|
-9.3x |
4 |
|
= -10.8 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
î |
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
19
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
ì4.9x1 +1.8x2 - 7.9x3 - 7.7x4 = 8.2 |
|
ì8.1x1 +1.2x2 - 9.1x3 +1.7x4 = 10 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№8ïï-10x +1.3x |
2 |
-20x |
-1.4x |
4 |
|
=1.2 |
№23ïï1.1x +1.7x |
2 |
+7.2x -3.4x |
4 |
=1.7 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
í |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
í |
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
-1.7x2 +4.9x3 +4.8x4 =8.7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
ï-1.6x1 |
|
ï1.7x1-1.8x2 +10x3 +2.3x4 =2.1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ï3x |
+ 6x |
2 |
- 2.1x -10x |
4 |
= -1.1 |
|
ï1.3x +1.7x |
2 |
- 9.9x |
|
|
+ 3.2x |
4 |
= 7.1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
î |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ì5.5x1 + 8.9x2 - 2.1x3 - 9.9x4 = 1.1 |
№24 |
ì3.3x1 + 2.2x2 -10x3 +1.7x4 = 1.2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№9ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
+21.1x2 +1.3x3 -2.2x4 =2.2 |
||||||||||||||||||||||||
ï8.2x1+1.3x2 -2x3 -1.4x4 =1.7 |
|
|
ï1.8x1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
í2.8x -1.7x |
|
|
|
+3.9x |
+4.8x |
|
|
|
=1.2 |
||||||||||||||||
ï2.8x1-1.7x2 +3.9x3 +4.8x4 =4.2 |
|
2 |
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ï3.3x + 3.9x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
- 2.1x |
-10x |
4 |
= -9.1 |
|
ï7x -1.7x |
2 |
|
- 2.2x |
3 |
+ 3.3x |
4 |
|
= 2.1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
î |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
ì7x +1.8x - 2.1x -7.5x =1.1 |
|
ì1.7x |
+ 9.9x |
|
|
|
|
- 20x |
|
-1.7x |
|
|
|
|
|
=1.7 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
№10 |
ï |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
№25 |
ï |
1 |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||||||||||
|
ï5.2x +1.3x -2x -1.4x =4.1.5 |
|
ï20x +0.5x -30x -1.1x |
4 |
=2.1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
í |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
í |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ï2.8x1-1.7x2 +3.9x3+4.8x4=1.2 |
|
ï10x1-2x2 +3.2x3 +0.5x4 =1.8 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ï |
|
+1.4x2 - 2.1x3 +9.5x4 = -1.1 |
|
ï3.3x - 0.7x |
|
|
|
+ 3.3x |
|
|
+ 20x |
4 |
|
= -4.7 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
î8.7x1 |
|
î |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
ì8.5x1 +1.3x2 - 7.1x3 -7.7x4 = 6.3 |
|
ì1.7x1 +1.3x2 -1.1x3 -1.2x4 = 2.2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№11ïï-4.3x +1.3x |
2 |
-7.9x |
-1.4x |
|
=1.5 |
№26ïï-10x +10x |
2 |
-1.3x |
3 |
-1.6x |
4 |
|
=1.7 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
í |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
í |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
-1.8x2 +3.9x3+4.8x4=5.2 |
|
|
-3.3x2 |
+1.2x3 +1.3x4 =1.2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ï2.8x1 |
|
ï3.5x1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ï7.8x |
+5.2x |
|
|
|
- 2.1x |
-7.5x |
4 |
= -1.1 |
|
ï10x + 3.4x |
2 |
- 2.1x |
3 |
-10x |
4 |
= -1.1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
î |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
ì1.2x1 +1.9x2 - 2.1x3 - 7.7x4 = 8.1 |
|
ì1.1x1 +11.3x2 -1.7x3 +1.8x4 =1.1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№12ïï1.1x |
+1.3x |
2 |
- 4.6x |
-1.4x |
|
|
=1.8 |
№27ïï1.3x -11.7x |
2 |
+1.8x |
3 |
+1.4x |
4 |
=1.3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
í |
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
í |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
ï2.7x1-1.9x2 +3.9x3+4.8x4 =1.2 |
|
ï1.1x1-10.5x2 -1.7x3 -1.5x4 =1.1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 2.1x |
-10x |
|
|
= -10 |
|
ï |
|
- 0.5x |
|
|
|
+1.8x |
|
-1.1x |
|
|
=10 |
||||||||||||||||||||||
|
ï10x + 3.8x |
2 |
|
4 |
|
1.5x |
2 |
|
|
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
î |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
ì7.8x1 +1.8x2 - 2.1x3 -8.1x4 =1.7 |
|
ì1.4x1 + 2.1x2 - 3.3x3 -1.1x4 = 10 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№13ïï2.8x +1.3x |
2 |
-20x -1.4x |
4 |
=3.2 |
№28ïï10x -1.7x |
2 |
+1.1x -1.5x |
4 |
|
=1.7 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
í |
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
í |
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
-1.7x2 +3.9x3 +4.8x4 =1.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+5.9x3 +7.8x4 =1.9 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ï5.9x1 |
|
ï2.2x1-3.7x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ï |
|
+1.2x2 - 2.1x3 - x4 = -8.4 |
|
ï |
|
+ 3.4x2 |
-8.1x3 - 9.1x4 =1.7 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
î8.8x1 |
|
î1.1x1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ì4.9x1 +1.8x2 - 5.1x3 - 7.7x4 = 1.1 |
|
ì1.3x1 -1.7x2 + 3.3x3 +1.7x4 =1.1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№14ïï-2.9x +1.3x |
|
|
-4.9x |
-1.4x |
|
=8.5 |
№29ïï10x +5.5x |
2 |
|
-1.3x +3.4x |
4 |
=1.3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
í |
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
í |
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
-1.7x2 +3.9x3 +4.8x4 =1.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
ï2.8x1 |
|
ï1.1x1+1.8x2 -2.2x3 -1.1x4 =10 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ï9.1x |
+ 6.7x |
2 |
- 2.1x |
- x |
4 |
= -1.4 |
|
ï1.3x -1.2x |
|
|
|
|
+ 2.1x |
|
|
+ 2.2x |
4 |
|
=1.8 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
î |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
20
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com