Дисциплина «Численные методы» Введение

Внедрение компьютеров во все сферы человеческой деятельности требует от специалистов разного профиля овладения навыками использования вычислительной техники.

Одной из основных дисциплин является вычислительная математика. Она изучает методы построения и исследования численных методов решения математических задач, которые моделируют различные процессы.

Под численными методами подразумеваются методы решения задач, сводящихся к арифметическим и некоторым логическим действиям над числами, т.е. к тем действиям, которые выполняет компьютер.

Этапы решения задач на компьютере

При решении задач эффективно применять компьютер для проведения трудоемких расчетов. При решении задач на компьютере основная роль все-таки принадлежит человеку. Компьютер лишь выполняет его задания по разработанной программе.

Поэтому процесс решения задач можно разбить на следующие этапы:

- Постановка задачи (содержательная постановка задачи и определение целей решения).

- Построение математической модели (математическая формулировка задачи)

- Разработка численного метода.

Компьютер выполняет лишь простейшие операции, он «не понимает» постановки задачи. Для ее решения должен быть найден численный метод, который сведет задачу к вычислительному алгоритму.

- Разработка алгоритма.

Процесс решения задачи записывается в виде последовательности элементарных операций, приводящей к конечному результату и называемой алгоритмом решения задачи (блок-схема, структурограммы и т.п.).

- Программирование (составление программы).

- Отладка программы (включает контроль программы, диагностику ошибок их исправление).

- Проведение расчетов (готовятся исходные данные, и проводится счет по отложенной программе).

- Анализ результатов.

Численные методы

Для решения математических задач используется следующие группы методов: аналитические, графические и численные.

1. При использовании аналитических методов решения задач удается выразить с помощью формул.

2. Основная идея графических методов состоит в том, что решение находится путем геометрических построений.

Например, найти корень уравнения

Строится график функции . Точки пересечения функции с осью абсцисс и является искомыми корнями. Графические методы могут применяться для получения начального приближения к решению, которое затем уточняется с помощью численных методов.

3. Основным инструментом для решения сложных математических задач являются численные методы, позволяющие свести решение задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над числами; при этом результаты получаются виде числовых значений.

Численные методы позволяют получить лишь приближенное решение задачи с конкретными значениями параметров и исходных данных. Численный метод наряду с возможностью получения результата за приемлемое время должен обладать и еще одним важным качеством – не вносить в вычислительный процесс значительных погрешностей.

Раздел I

Приближенные числа и действия с ними

§1 Приближенные числа.

1. Числа с плавающей точкой.

При решении научно-технических задач в основном используются действительные числа. В компьютерах они представляются в форме с плавающей точкой. Десятичное число ,m - мантисса числа, n - его порядок.

Например, число - 273.9 можно записать в виде:

- нормализованная форма числа с плавающей точкой,

- 273.9 – форма записи с фиксированной точкой.

Компьютер оперирует с приближенными значениями действительных чисел. Мерой точности приближенных чисел является погрешность.

2. Понятие погрешности.

Различают два вида погрешностей: абсолютную и относительную.

Абсолютная погрешность некоторого числа равна разности между его истинным значением и приближенным значением, полученным в результате вычисления.

Относительная погрешность - это отношение абсолютной погрешности к приближенному значению числа.

Таким образом, если а - приближенное значение числа x, то

абсолютная погрешность

относительная погрешность

Истинное значение величины x обычно не известно. Имеются лишь приближенное значение а и нужно найти его предельную погрешность , являющейся верхней оценкой модуля абсолютной погрешности, т.е.

В дальнейшем принимается в качестве абсолютной погрешности приближенного числа а. В этом случае истинное значение x находится в интервале .

= половине единицы последнего разряда числа.

а	51,7	16	16,00
	0,05	0,5	0,005

Правило записи приближенных чисел

Пусть приближенное число а задано в виде конечной позиционной записи:

где – десятичные цифры.,

Первая слева, отличная от 0 цифра данного числа, и все расположенные справа цифры называются значащими.

Например, число 25,047 и –0,00250 имеют соответственно 5 и 3 значащих цифр.

Цифра называется верной, если, т.е. абсолютная погрешность числаа не превосходит одной единицы соответствующего разряда десятичного числа.

Например, 25,030 – 5 верных значащих цифр

3 верные цифры после запятой

0,00404 – 3 верные значащие цифры

5 верных цифр после запятой.