§ 3. Метод хорд

Пусть отрезок , на которомменяет знак. Для определенности примем(рис).

A

y

b

c₀

c₁

a

c

x

B

B₁

В методе хорд процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений к корню уравнения принимают значенияточек пересечения хорды с осью абсцисс.

Сначала находим уравнение хорд

Для точки пересечения ее с осью абсцисс получим уравнение

Далее, сравнивая знаки и, следует, что корень находится в интервале, т.к.Отрезокотбрасываем.

Затем определяем новое приближение как точка пересечения хордыс осью абсцисс и т.д.

Для окончания итераций нужно использовать условие близости двух последовательных приближений или условие

Метод деления отрезка пополам и метод хорд похожи процедурой проверки знаков функции на концах отрезка. Метод хорд в ряде случаев дает более быструю сходимость итерационного процесса.

§4. Метод Ньютона (метод касательных)

Его отличие от метода хорд состоит в том, что на k-й итерации вместо хорд проводится касательная к кривой прии ищется точка пересечения касательной с осью абсцисс.

При этом не обязательно задавать , содержащий корень уравнения, а достаточно лишь найти некоторое начальное приближение корня(рис).

M₀

c₁

c₀

x

c

M₂

M₁

Уравнение касательной, проведенной к кривой в точкеимеет вид. Следовательно, следующее приближение корня(абсцисса точки пересечения касательной с осью):

Формула для k-го приближения имеет вид: .

Для окончания итерационного процесса могут быть использованы условия или

Теорема. Достаточное условие сходимости метода Ньютона.

Пусть определена и дважды дифференцируема на, причем, аисохраняют знак на этом отрезке. Тогда исходя из начального приближенияи удовлетворяющему неравенствуможно построить последовательностьсходящуюся к единственному решениюс уравнения при.

§5. Метод простой итерации.

Исходное нелинейное уравнение записывается в виде:

. (1)

Пусть известно начальное приближение корня . Подставляя в правую часть (1), получаем новое приближениеПоследовательность значенийИтерационный процесс прекращается, если выполнено неравенство. Достаточное условие сходимости метода простой итерации дается следующей теоремой.

Теорема.

Пусть - корень уравнения (1), т.е.. Пусть- определена и дифференцируема на, причем. Если выполняется условиена, то последовательностьсходится кс при .

Замечание

Чтобы привести любое уравнение к видудостаточно выполнить следующие преобразования:

.

Константа d выбирается так, чтобы выполнялось достаточное условие сходимости итерационного процесса или. Это условие равносильнопри,

при

Итерации имеют геометрическую интерпретацию.

С₀

С₁

С₂

С

С₀

С₁

С₂

С

(1) (2)

Решение с уравнения (1) является абсциссой точки пересечения прямой и кривой.

В (1) последовательность монотонно сходится кс, причем с той стороны, с которой расположено начальное приближение .

В (2) расположены поочередно с разных сторон от решения .

14