Вырожденные кривые
Кривая
второго порядка называется вырожденной,
если 
.
Могут возникать следующие варианты:
вещественная точка на пересечении двух мнимых прямых (вырожденный эллипс) — при условии
пара вещественных пересекающихся прямых (вырожденная гипербола) — при условии
вырожденная парабола — при условии
пара вещественных параллельных прямых — при условии
одна вещественная прямая (две слившиеся параллельные прямые) — при условии
пара мнимых параллельных прямых (ни одной вещественной точки) — при условии
Приведение уравнения кривых к каноническому виду
Пусть
в прямоугольной системе
координат 
алгебраическая
линия второго порядка задана уравнением
(3.34):
Чтобы привести уравнение к каноническому виду, нужно выполнить следующие действия.
1. Если
в уравнении имеется член с произведением
неизвестных 
,
то делаем поворот системы координат:
на
угол 
,
удовлетворяющий равенству
.
При этом получим "почти" приведенное
уравнение линии второго порядка:
Если 
,
переходим к пункту 2, поворот системы
координат делать не нужно, так как
исходное уравнение имеет "почти"
приведенный вид.
2. Выполняем параллельный перенос системы координат:
а) если в уравнении нет линейных членов, то переходим к пункту 3;
б)
если в уравнении имеется линейный член
с какой-либо неизвестной и квадратичный
член с этой же неизвестной, то, дополняя
эти члены до полного квадрата, делаем
замену, чтобы в уравнении не стало
линейного члена с этой неизвестной.
Например, если в уравнении 
и
,то
выполняем преобразования:
а
затем замену неизвестных 
,
после которой в уравнении не будет
линейного члена с неизвестной
;
в) если в уравнении имеется только один линейный член с какой-либо неизвестной, а квадрат этой неизвестной отсутствует, то при помощи замены этой переменной надо сделать равным нулю свободный член уравнения. Например, если уравнение имеет вид
то,
выполняя замену неизвестных 
,
получаем уравнение без свободного
члена:
3. Полученное в результате упрощений (пункт 2) уравнение имеет "почти" канонический вид. Для окончательного упрощения "почти" канонического уравнения при необходимости применяются следующие преобразования:
а)
переименование координатных осей: 
;
б)
изменение направления координатной
оси, например оси абсцисс: 
;
в) умножение обеих частей уравнения на отличный от нуля множитель;
г) перенос членов из одной части уравнения в другую.
В результате этих преобразований уравнение приводится к каноническому виду. Замену неизвестных, приводящую уравнение поверхности к каноническому виду, определяем как композицию всех замен, применяемых в ходе решения.
38) Параболой называется множество точек на плоскости, равноудаленных от заданной точки (называемой фокусом) и данной прямой (называемой директрисой).
Фокус
параболы
принято обозначать буквой 
,
директрису
– буквой 
,
расстояние от фокуса до директрисы –
буквой 
(p>0).
Каноническое
уравнение параболы, фокус которой
расположен на оси абсцисс, имеет
вид 
или 
.
Эти два случая представлены в следующей таблице:
Точка пересечения параболы с осью называется ее вершиной. При указанном выше выборе координатной системы ось параболы совмещена с осью абсцисс, вершина находится в начале координат, вся парабола лежит в правой полуплоскости.
Эксцентрисите́т —
числовая характеристика конического
сечения,
показывающая степень его отклонения
от окружности.
Обычно обозначается “
”
или “
”.
Эксцентрисите́т
параболы равен 1 (
=1)
39) Пове́рхность в геометрии и топологии — двумерное топологическое многообразие. Наиболее известными примерами поверхностей являются границы геометрических тел в обычном трёхмерном евклидовом пространстве.
Общие уравнения поверхностей второй степени
Общее уравнение
40) Сфе́ра (др.-греч. σφαῖρα — мяч, шар[1]) — замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы.
Сфера
радиуса R с
центром в начале координат:
Параметрические уравнения:
Сфера радиуса R с центром в точке S (a; b; c):
