Построение плоскости

Зная уравнение плоскости, легко построить саму плоскость. Для этого достаточно найти три какие-либо ее точки, не лежащие на одной прямой. Для того чтобы найти какую-либо точку на плоскости достаточно задать произвольно значения двух координат, а третью найти из уравнения плоскости.

Проще всего определять точки пересечения плоскости с осями координат.

31. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки, не лежащие на одной прямой

Пусть точки M₁, M₂, M₃ не лежат на одной прямой. Как известно, три такие точки однозначно определяют некоторую плоскость р (рис. 199).

Выведем уравнение плоскости р. Пусть М — произвольная точка пространства. Очевидно, что точка М принадлежит плоскости р тогда и только тогда, когда векторы  M₁M^>, M₁M₂^>, M₁M₃^>компланарны. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения (§ 23*, теорема 2). Поэтому уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой, может быть записано следующим образом:

(M₁M^>, M₁M₂^>, M₁M₃^>) = 0.            (1)

Если точки M₁, M₂ и M₃ заданы координатами в некоторой прямоугольной декартовой системе координат, то уравнение (1) можно записать в координатах.  Пусть M₁(x₁; y₁; z₁), M₂(х₂; у₂; z₂), M₃(х₃; у₃; z₃) — данные точки. Обозначим координаты произвольной точки М плоскости р через х, у и z. Найдем координаты векторов, входящих в уравнение (1):

M₁M^> = (х — х₁; у — у₁; z — z₁),

M₁M₂^> = (x₂ — x₁ ; y₂ — y₁; z₂ — z₁),

M₁M₃^> = (x₃ — x₁; у₃ — y₁; z₃ — z₁).

Смешанное произведение трех векторов равно определителю третьего порядка, в строках которого стоят координаты векторов . Следовательно, уравнение (1) в координатах имеет вид

        

Уравнение плоскости в отрезках 

где a, b, c - величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат.

Расстояние от точки до плоскости — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

Формула для вычисления расстояния от точки до плоскости

Если задано уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0, то расстояние от точки M(M_x, M_y, M_z) до плоскости можно найти, используя следующую формулу:

d =	|A·Mx + B·My + C·Mz + D|
	√A2 + B2 + C2

Двугранный угол между плоскостями равен углу образованному нормальными векторами этих плоскостей.

 Двугранный угол между плоскостями равен углу образованному прямыми l₁ и l₂, лежащими в соответствующих плоскостях и перпендикулярными линии пересечения плоскостей.

Формула для вычисления угла между плоскостями

Если заданы уравнения плоскостей A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0, то угол между плоскостями можно найти, используя следующую формулу

cos α =	|A1·A2 + B1·B2 + C1·C2|
	√A12 + B12 + C12√A22 + B22 + C22

Условия перпендикулярности 2х плоскостей. Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, а следовательно, или.

Таким образом, .

Условия параллельности 2х плоскостей. Две плоскости α₁ и α₂ параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы ипараллельны, а значит