11 Вопрос.

Функция натурального аргумента где (чем не функция). По определению, функция непрерывна в a, если: Ни одна точка, не будет являтся точкой сгущения ee области определения. Следовательно, ни в одной точке данная функция не будет иметь предела. Следовательно, она будет разрывна в каждой точке.

Функции, область определения которых является множеством натуральных чисел или его частью, называются числовыми последовательностями. 

Последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число , что для любого номера , 

Последовательность называется ограниченной снизу, если существует такое число , что для любого номера , 

Последовательность называется ограниченной, если она ограниченная сверху и ограниченная снизу, то есть существует такое число , что для любого номера , 

Последовательность называется неограниченной, если существует такое число , что существует такой номер , что 

Последовательность называется монотонно возрастающей, если для любого ,

Последовательность называетсямонотонно возрастающей, если для любого ,

Определение

Последовательность называетсямонотонно убывающей, если для любого ,

Или,

Последовательность называетсямонотонно убывающей, если для любого ,

12.

Последовательность называется сходящейся, если существует такое число такое, что последовательность является бесконечно малой последовательностью. Обратное-расходящиеся.

Свойство 1. Постоянный множитель  c  можно выносить за знак предела:

Свойство 2. Если существуют конечные пределы последовательностей  и, то

Свойство 3. Если существуют конечные пределы последовательностей  и, то

13 . Если монотонная последовательность ограничена, то она сходится.

Доказательство. Так как последовательность ограничена, то множество ее элементов имеет точные верхнююи нижнююграни. Пусть– неубывающая последовательность и– точная верхняя грань множества ее элементов. Это означает, что для любого числаможно указать такой элемент, чтои. Эти два неравенства равносильны неравенствуили. Так как– неубывающая последовательность, то привыполняетсяили. Это означает, что привыполняетсяили. Таким образом,. Аналогично доказывается случай, когда– невозрастающая последовательность.

Число е является основанием натурального логарифма: 

Данное число есть предел выражения при условии, что стремится к бесконечности:

 - второй замечательный предел.

14. Последовательность называется бесконечно малой последовательностью (б.м.п.), если для любого существует номер такой, что для любого выполняется неравенство:

Последовательность называется бесконечно большой (б.б.п.), если для любого существует номер такой, что для любого выполняется неравенство: 

Основные свойства б.м. и б.б. последовательностей

1°   Сумма б.м. последовательностей есть б.м.п.

2°   Произведение ограниченной последовательности и б.м. есть б.м.п.

3°   Если - б.м.п., то- ограниченная последовательность.

4°   Произведение б.м.п. есть последовательность б.м.

5°   Если - б.м.п. и, то, т.е.

6°   Если - б.м.п. и, то последовательность- б.б.п.

7°   Если - б.б.п., тои последовательность- б.м.п.

15. Если представляет из себя конкретное действительное число, то говорят о пределе функции в точке.

Если или . то говорят о пределе функции на бесконечности.

Односторонний предел — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левым и правым пределами.

Пусть переменная  x  стремится к  a, оставаясь больше  a, и при этом  . Тогда числоA  называют правосторонним пределом (илипределом справа) функции  и обозначают любым из символических выражений

Понятие левостороннего предела (или предела слева) вводится аналогичным образом. В этом случае  приx → a  со стороны меньших значений: