Тема 4. Системы векторов. N-мерное векторное пространство. Евклидово пространство.

Арифметическим вектором называют упорядоченную совокупность из чисел:и обозначают. Числаназываюткомпонентами вектора , число компонент называют егоразмерностью.

Векторы иназываютравными, если они одинаковой размерности и их соответствующие компоненты равны: ,.

Суммой векторов и одной размерности, называют вектортой же размерности, для которого:,.

Произведением вектора на число называют вектор той же размерности, для которого:,.

Линейной комбинацией векторов иодной размерности, называют вектортой же размерности (и- произвольные числа), для которого:,.

Множество всех -мерных векторов, в котором введены операции сложения и умножения на число, удовлетворяющие определённым требованиям (аксиомам) называютвекторным пространством и обозначают .

Систему векторов называютлинейно зависимой, если найдутся числа ,одновременно, такие, что(где- нулевой вектор), в противном случае, систему называютлинейно независимой.

Базисом системы векторов называют упорядоченную систему векторов, удовлетворяющую условиям:

1) ,;2) система линейно независима;3) для любого вектора найдутся числатакие, что. Коэффициенты, однозначно определяемые вектором, называюткоординатами вектора в базисе , а формулу называютразложением вектора по базису и пишут:.

В пространстве базисом является каждая упорядоченная система излинейно независимых векторов:. Формулуназываютразложением вектора по базису , коэффициенты- координатами вектора в базисе и пишут.

Всякая упорядоченная система из векторовобразует базис, если определитель, столбцами которого являются компоненты векторов, не равен нулю.

Пространство , в котором введено скалярное произведение векторов, удовлетворяющее определённым требованиям (аксиомам), называют евклидовым.Скалярным произведением двух векторов иназывают число:.

Тема 5. Линейные операторы. Собственные числа и векторы.

Оператором называется закон (правило), по которому каждому вектору ставится в соответствие единственный вектор, и пишутилиВ дальнейшем, рассматривается случай(преобразование пространства ). Операторназываетсялинейным, если для любых векторов и действительных чиселвыполнено условие:.

Если - базис пространства, то матрицей линейного оператора в базисе называется квадратная матрица порядка, столбцами которой являются столбцы координат векторов. Между линейными операторами, действующими ви квадратными матрицами порядка, существует взаимно однозначное соответствие, что позволяет операторпредставить в матричном виде, где- матрицы-столбцы координат векторов,- матрица операторав базисе .

Для линейных операторов, действующих в вводятся следующие операции:1) сложение операторов:;2) умножение операторов на число:;3) умножение операторов: .

Обратным к оператору называется оператортакой, что, где-единичный (тождественный) оператор, реализующий отображение . Обратный операторсуществует только для невырожденных операторов(операторов, матрица которых является невырожденной). Все, рассмотренные выше, действия над линейными операторами выполняют, выполняя аналогичные действия над их матрицами.

Пусть число и вектор,, таковы, что выполняются равенства:или. Тогда числоназываетсясобственным числом линейного оператора (или матрицы), а вектор-собственным вектором этого оператора (или матрицы), соответствующим собственному числу . Равенствоможет быть записано в виде, где- единичная матрица порядка,- матрица-столбец координат собственного вектора, соответствующего собственному числу,- нулевая матрица-столбец.

Характеристическим уравнением оператора (или матрицы) называется уравнение:.

Множество собственных чисел оператора (или матрицы) совпадает с множеством корней его характеристического уравнения: , амножество собственных векторов, отвечающих собственному числу , совпадает с множеством ненулевых решений матричного уравнения:.