3А) Находим матрицу , обратную к, методом присоединённой матрицы, по формуле: ,где:

,

,

,

.

Тогда .

1б) Находим вектор валового выпуска на векторконечного продукта в плановом периоде, следующим за отчётным (в предположении, что матрица, называемая также технологической, а, следовательно, и матрицане изменяются, т.е.) по формуле:

.

2б) Находим по формуле () плановые межотраслевые поставки, округляя полученные значения до целых (с учётом балансовых соотношений,):

, ,,

, ,,,,.

3б) Плановые объёмы выпуска чистой продукции каждой из отраслей находим по формуле:

, ,

.

Ответ: Межотраслевой баланс планового периода имеет вид:

Отрасли производства	Отрасти потребления			Конечный продукт	Валовой продукт
	I	II	III
I	20	27	97	60	204
II	61	80	65	60	266
III	61	53	130	80	324
Чистый продукт	62	106	32
Валовой продукт	204	266	324

6.2. Краткие теоретические сведения.

Тема 1. Определители.

Квадратной матрицей порядка называется квадратная таблица из чисел (,):, состоящая изстрок истолбцов. У квадратной матрицы различают главную диагональ:и побочную диагональ:. Любой квадратной матрицепорядкаможно поставить в соответствие число, равное алгебраической суммеслагаемых, составленных определённым образом из элементовматрицы, называемое определителем матрицы. Кратко обозначается,.

Определителем 1-ого порядка называется число .

Определителем 2-ого порядка называется число

.

Определителем 3-его порядка называется число

.

Минором элемента называется определитель, полученный из определителявычёркиванием-ой строки и-ого столбца.

Алгебраическим дополнением элемента называется его минор , взятый со знаком:

.

Определителем порядка называется число

Разложением определителя по-ой строке () называется соотношение:.

Разложением определителяпо-ому столбцу () называется соотношение:

Определители обладают следующими свойствами:

1) определитель не изменится при замене всех его строк столбцами с теми же номерами;

2) определитель изменит знак на противоположный, если переставить местами любые две строки (два столбца) определителя;

3) общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) можно вынести за знак определителя;

4) определитель равен нулю, если он содержит нулевую строку (столбец), две одинаковые или пропорциональные строки (столбца);

5) определитель не изменится, если к какой-либо строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на любое число;

6) определитель треугольного вида (когда все элементы, лежащие по одну сторону одной из его диагоналей равны нулю) равен произведению диагональных элементов: .

Тема 2. Матрицы.

Матрицей размера называется прямоугольная таблица из чисел (,):, состоящая изстрок истолбцов. Если необходимо указать размеры матрицы, то пишут.

Если , то матрицаназываетсяквадратной.

Нулевой называется матрица , все элементы которой равны нулю, например:.Единичной называется квадратная матрица , на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, например:.Треугольной называется квадратная матрица , все элементы которой расположенные по одну сторону от главной диагонали равны нулю, например:.Трапециевидной (ступенчатой) называется матрица , все элементы которой, расположенные ниже элементовравны нулю, например:.

Матрицы иназываютсяравными и пишут , если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны:,,.

Матрицы можно транспонировать, складывать, вычитать, умножать на число, умножать на другую матрицу.

Транспонированной к матрице называется матрица, столбцами которой являются соответствующие строки матрицы.

Суммой (разностью) матриц иодного размера , называется матрица того же размера, для которой:

, ,.

Произведением матрицы размера на число называется матрица того же размера, для которой:,,.

Линейной комбинацией матриц и одного размера , называется матрица того же размера (и- произвольные числа), для которой:,,,

Произведением матрицы на матрицу называется матрица , каждый элемент которойвычисляется по правилу:

, ,.

Операция умножения матрицы на матрицу определена не для всех матриц, а только для таких у которых число столбцов левой матрицы равно числу строк правой матрицы. Такие матрицы называются согласованными для умножения. Поэтому прежде чем выполнять операцию умножения матрицы на матрицу следует проверить их согласованность для умножения и определить размерность матрицы-произведения (если умножение матриц возможно): . Особенность операции умножения матриц состоит в том, что в общем случае:, т.е. переместительное свойство места не имеет.

Элементарными преобразованиями матрицы называются:

1) перестановка строк (столбцов);

2) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число;

4) вычёркивание нулевой строки (столбца).

Матрицы и, полученные одна из другой в результате элементарных преобразований называютсяэквивалентными и пишут .

Обратной к квадратной матрице порядка, называется матрицатого же порядка, если:, где- единичная матрица порядка.

Квадратная матрица называетсяневырожденной, если её определитель . Обратная матрица всегда существует для невырожденных матриц.

Основными методами вычисления обратной матрицы являются:

Метод присоединённой матрицы. Если-невырожденная матрица, то, где- присоединённая матрица, для которой:. Здесь- алгебраические дополнения элементовматрицы.

В частности, если , то

Метод элементарных преобразований. Для данной квадратной матрицыпорядкастроится прямоугольная матрицаразмераприписыванием ксправа единичной матрицы. Далее, с помощью элементарных преобразований над строками, матрицаприводится к виду, что всегда возможно, если- невырожденная.

Матричными называются уравнения вида: ,,,

где матрицы- известны, матрица- неизвестна. Если квадратные матрицыи- невырожденные, то решения матричных уравнений записываются, соответственно, в виде:,,.

Минором -ого порядка матрицы размера называется определитель квадратной матрицы порядка, образованной элементами матрицы, стоящими на пересечении произвольно выбранных еёстрок истолбцов. Максимальный порядокотличных от нуля миноров матрицы, называется еёрангом и обозначается или, а любой минор порядка, отличный от нуля –базисным минором.