5. Материалы для контроля знаний студентов.

Итоговой формой контроля знаний является экзамен в конце семестра обучения. На экзамене студент должен показать знание теоретических основ курса в объёме вопросов, приведённых в разделе 5.2 и умение решать задачи, подобные тем, что имеются в его контрольной работе.

5.1. Задания для контрольной работы.

1 – 10. Вычислить определитель:

а) непосредственным разложением по строке;

б) непосредственным разложением по столбцу.

1. 2.3.

4. 5.6.

7. 8.9.

10.

11 – 20. Найти матрицу , если .

11.,12.,

13.,14.,

15.,16.,

17.,18.,

19.,20.,.

21 – 30. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы .

21. . 22.. 23..

24. . 25.. 26..

27. . 28.. 29..

30. .

31 – 40.Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется: а) найти решение системы методом Крамера;

б) записать систему в матричном виде и найти её решение методом обратной матрицы; в) найти решение системы методом Гаусса.

31. 32.

33. 34.

35. 36.

37. 38.

39. 40.

41–50. Найти общее решение для каждой из данных систем методом Гаусса:

41 а)б)

42 а)б)

43. а)б)

44. а)б)

45. а)б)

46. а)б)

47. а)б)

48. а)б)

49. а)б)

50. а)б)

51 – 60. Исследовать квадратичную форму на знакоопределённость (по критерию Сильвестра).

51. .

52. .

53. .

54. .

55. .

56. .

57. .

58. .

59. .

60. .

61 – 70. Даны векторы . Требуется:

а) вычислить скалярное произведение векторов , если ,; б)вычислить векторное произведение векторов ;в) показать, что векторы образуют базис и найти координаты векторав этом базисе.

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

71-80. Даны вершины треугольника .Требуется найти:

а) длину стороны ; б) уравнение стороны ;

в) уравнение медианы ,проведённой из вершины ;

г) уравнение высоты , проведённой из вершины ;

д) длину высоты ; е)площадь треугольника .Сделать чертёж.

71. . 72.

73. 74.

75. 76.

77. 78.

79. 80.

81 – 90. Даны вершины пирамиды .Требуется найти:

а) длины ребер и; б) угол между ребрами и;

в) площадь грани ; г)объем пирамиды ;

д) уравнение плоскости грани ;

е) длину высотыпирамиды .

81.

82.

83.

84.

85.

86.

87.

88.

89.

90.

91–100. Установить, какую невырожденную кривую определяет алгебраическое уравнение второго порядка, построить её.

91. 92.

93. 94.

95. 96.

97. 98.

99. 100.

101-110. Требуется: а) изобразить графически область допустимых решений системы неравенств; б) найти графическим способом решение задачи линейного программирования.

101. 102.103.

104. 105.106.

107. 108.

109. 110.

111-120. Имеются данные о работе трёх отраслей экономики в отчётном периоде и план выпуска конечной продукции в следующем периоде (в усл. ден. ед.). Требуется, используя модель Леонтьева многоотраслевой экономики, найти:а) матрицы коэффициентов прямых и полных затрат; б) плановые объёмы выпуска валовой продукции каждой из отраслей, межотраслевые поставки и объёмы выпуска чистой продукции. В ответе записать данные межотраслевого баланса планового периода. (Указание: значения коэффициентов прямых и полных затрат вычислить с точностью до 0.01; значения плановых объёмов выпуска валовой и чистой продукции, межотраслевых поставок округлить до целых значений).

111.

Отрасли производства	Отрасти потребления			Конечный продукт	Валовой продукт
	I	II	III
I	10	20	10	60	100
II	20	30	20	30	100
III	60	10	20	10	100
Чистый продукт	10	40	50
Валовой продукт	100	100	100

112.

Отрасли производства	Отрасти потребления			Конечный продукт	Валовой продукт
	I	II	III
I	20	20	25	35	100
II	50	10	10	30	100
III	15	20	40	25	100
Чистый продукт	15	50	25
Валовой продукт	100	100	100

113.

Отрасли производства	Отрасти потребления			Конечный продукт	Валовой продукт
	I	II	III
I	10	40	10	40	100
II	10	20	40	30	100
III	20	30	30	20	100
Чистый продукт	60	10	20
Валовой продукт	100	100	100

114.

Отрасли производства	Отрасти потребления			Конечный продукт	Валовой продукт
	I	II	III
I	10	40	20	30	100
II	50	20	25	5	100
III	30	20	20	30	100
Чистый продукт	10	20	35
Валовой продукт	100	100	100

115.

Отрасли производства	Отрасти потребления			Конечный продукт	Валовой продукт
	I	II	III
I	10	40	30	20	100
II	40	30	20	10	100
III	30	20	40	10	100
Чистый продукт	20	10	10
Валовой продукт	100	100	100

116.

Отрасли производства	Отрасти потребления			Конечный продукт	Валовой продукт
	I	II	III
I	15	25	30	30	100
II	10	40	20	30	100
III	30	30	30	10	100
Чистый продукт	45	5	20
Валовой продукт	100	100	100

117.

Отрасли производства	Отрасти потребления			Конечный продукт	Валовой продукт
	I	II	III
I	15	15	25	45	100
II	15	20	30	35	100
III	10	25	20	45	100
Чистый продукт	60	40	25
Валовой продукт	100	100	100

118.

Отрасли производства	Отрасти потребления			Конечный продукт	Валовой продукт
	I	II	III
I	10	20	20	50	100
II	20	25	25	30	100
III	25	25	30	20	100
Чистый продукт	45	30	25
Валовой продукт	100	100	100

119.

Отрасли производства	Отрасти потребления			Конечный продукт	Валовой продукт
	I	II	III
I	25	10	20	45	100
II	25	20	50	5	100
III	10	30	20	40	100
Чистый продукт	40	40	10
Валовой продукт	100	100	100

120.

Отрасли производства	Отрасти потребления			Конечный продукт	Валовой продукт
	I	II	III
I	15	20	30	35	100
II	30	15	20	35	100
III	10	20	30	40	100
Чистый продукт	45	45	20
Валовой продукт	100	100	100

5.2. Вопросы к экзамену.

Раздел I. Линейная алгебра.

1. Понятие матрицы. Частные виды матриц (квадратная, треугольная, диагональная, нулевая, единичная). Элементарные преобразования матриц. Понятие эквивалентности и равенства матриц.

2. Действия над матрицами (сложение, вычитание, умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу) и их свойства. Линейная комбинация матриц.

3. Определители 2-ого и 3-егопорядка, их вычисление. Основные свойства определителей.

4. Понятие определителя n-ого порядка. Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя. Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца.

5. Понятие системы линейных уравнений (СЛУ). Частные виды СЛУ (квадратная, однородная, неоднородная). Матрица, расширенная матрица, определитель СЛУ.

6. Решение, множество решений, совместность, несовместность, определённость, неопределённость, эквивалентность СЛУ. Элементарные преобразования СЛУ, их основное свойство.

7. Теорема Крамера (о разрешимости СЛУ порядка ). Формулы Крамера для решения СЛУ, условия их применимости.

8. Метод Гаусса решения СЛУ, условия его применимости. Условия несовместности, определённости и неопределённости СЛУ по методу Гаусса.

9. Преобразования СЛУ, выполняемые при выполнении прямого и обратного ходов метода Гаусса. Базисные и свободные переменные. Нахождение общего решения СЛУ. Частные решения СЛУ.

10. Понятие обратной матрицы. Вырожденные и невырожденные матрицы. Теорема о существовании обратной матрицы. Основные способы нахождения обратной матрицы.

11. Матричные уравнения и их решение. Матричная форма записи СЛУ. Матричный способ (метод обратной матрицы) решения СЛУ и условия его применимости.

12. Однородные СЛУ, условия существования их ненулевых решений. Свойства частных решений однородных СЛУ.

13. Минор -ого порядка, базисный минор, ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы. Критерий совместности СЛУ (теорема Кронеккера-Капелли).

14. Понятие -мерного арифметического вектора. Равенство векторов. Действия над векторами (сложение, вычитание, умножение на число). Линейная комбинация векторов.

15. Скалярное произведение арифметических векторов. Длина вектора и угол между векторами. Понятие ортогональности векторов.

16. Система векторов и её линейная комбинация. Понятие линейной зависимости и независимости системы векторов. Теорема о необходимом и достаточном условиях линейной зависимости системы векторов.

17. Понятие векторного пространства , евклидова пространства. Базис, канонический базис, ранг. Разложение вектора впо векторам его базиса, координаты вектора. Теорема о единственности разложения вектора в данном базисе.

18. Понятие оператора, линейного оператора. Матрица линейного оператора. Сумма (разность) операторов, произведение оператора на число, произведение оператора на оператор, обратный оператор.

19. Понятие собственного числа и собственного вектора оператора. Характеристическое уравнение. Нахождение собственных чисел и векторов оператора.

20. Понятие квадратичной формы. Матрица квадратичной формы. Вырожденная, невырожденная, каноническая квадратичная форма. Закон инерции квадратичных форм.

21. Понятие знакоопределённости квадратичной формы. Главные миноры. Критерии знакоопределённости квадратичной формы.