Тема 10. Системы линейных неравенств. Линейные задачи оптимизации.

Линейным неравенством называют неравенство вида: , где- некоторые числа,- координаты точки пространства. Совокупность всех точек, координаты которых удовлетворяют неравенству, называютобластью решений данного неравенства.

Для пространства линейное неравенство имеет вид. Его областью решений является одна из полуплоскостей, на которые граничная прямаяделит плоскость. Для того, чтобы установить какая из полуплоскостей удовлетворяет данному неравенству выбирают «пробную» точку и проверяют, удовлетворяет ли она ограничению-неравенству. Если удовлетворяет, то неравенство выполняется в полуплоскости, содержащей «пробную» точку, в противном случае берётся другая полуплоскость. В качестве «пробной» точки выбирают любую точку, не принадлежащую граничной прямой. Полуплоскость, в которой неравенство выполняется, отмечают стрелками, направленными внутрь данной полуплоскости.

Системой линейных неравенств называют систему неравенств вида:

,

где - коэффициенты системы,- свободные члены системы. Совокупность всех точек, координатыкоторых удовлетворяют каждому из неравенств, называютобластью решений системы неравенств.

Для пространства система линейных неравенств имеет вид

.

Её областью решений является пересечение полуплоскостей, ограниченных прямыми, уравнения которых получают из неравенств заменой в них знаков неравенств на знаки равенств

Линейное программирование – это раздел математики, занимающийся разработкой методов отыскания экстремальных (наибольших и наименьших) значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения. Задачи линейного программирования (ЗЛП) являются задачами оптимизации и широко применяются для решения экономических задач.

Существует несколько форм записи задачи линейного программирования.

Общей задачей линейного программирования называют задачу:

Симметричной задачей линейного программирования называют задачу:

или

Канонической задачей линейного программирования называют задачу:

Функция называетсяцелевой функцией; величины называютсяпеременными задачи; система уравнений и неравенств, которым удовлетворяют переменные задачи называется системой ограничений; любой -мерный векторудовлетворяющий системе ограничений называетсядопустимым решением (планом) задачи линейного программирования; множество всех допустимых решений называется областью допустимых решений; допустимое решение ЗЛП, при котором целевая функция достигает экстремума называется оптимальным решением (оптимальным планом) задачи линейного программирования.

Все формы записи ЗЛП эквивалентны. ЗЛП с двумя переменными может быть решена графическим методом, который основан на возможности графического изображения области допустимых решений задачи и нахождения среди них оптимального решения. Область допустимых решений ЗЛП строится как пересечение областей решений каждого из ограничений, входящих в систему ограничений задачи. Для нахождения среди допустимых решений оптимального решения используют линии уровня целевой функции. Линией уровня целевой функции называется прямая , на которой целевая функция принимает постоянное значение. Все линии уровня параллельны между собой. Их нормальпоказывает направление наибольшего возрастания значений целевой функции, а вектор () – направление наибольшего убывания.

Если построить на одном рисунке область допустимых решений, вектор () и одну из линий уровня, например, то задача линейного программирования сводится к определению в области допустимых решений точки в направлении вектора(), через которую проходит линия уровня(), соответствующая наибольшему (наименьшему) значению функции. В этом и состоитграфический метод решения ЗЛП.

Примером экономической задачи, сводящейся к задаче линейного программирования, является задача оптимального использования ресурсов.

При производстве видов продукции используетсявидов ресурсов. Известны:- запасов ресурсов;() - расход-ого вида ресурса на производство одной единицы-ого вида продукции;- прибыль, получаемая от реализации одной единицы-ого вида продукции. Требуется составить план выпуска продукции, где- объём выпуска-ой продукции, который обеспечивает максимальную прибыль. Математическая модель такой задачи имеет вид:

и является задачей линейного программирования.