3) ; 4)

5) ; 6),, ,,,. Для векторови, заданных своими координатами,скалярное произведение вычисляется по формуле:.

Скалярное произведение применяют: 1) для вычисления угла между векторами ипо формуле:;2) для вычисления проекции вектора на векторпо формуле:;3) для вычисления длины вектора по формуле:;4) в качестве условия перпендикулярности векторов и:.

Векторным произведением векторов иназывается вектор, определяемый условиями:1);

2) и;3) - правая тройка векторов.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называетсяправой тройкой, если из конца третьего вектора , кратчайший поворот от первого векторако второму, виден совершающимся против хода часовой стрелки. В противном случае, тройканазывается левой.

Векторное произведение обладает свойствами:

1) ; 2),где - число;

3) ; 4)5);

6) ,, ,,,.

Для векторов и, заданных своими координатами,векторное произведение вычисляется по формуле:.

Векторное произведение применяют:1) для вычисления площадей треугольника и параллелограмма, построенных на векторах и, как на сторонах, по формуле:;2) в качестве условия параллельности векторов и:.

Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов ,иназывается число.

Смешанное произведение обладает свойствами:

1) ; 2);

3) ; 4)и -компланарны ;

5) ,где -объём параллелепипеда, построенного на векторах,и.

Для векторов ,и, заданных своими координатами,,смешанное произведение вычисляется по формуле:.

Смешанное произведение применяют:1) для вычисления объёмов тетраэдра и параллелепипеда, построенных на векторах ,и, как на рёбрах, по формуле:;2) в качестве условия компланарности векторов ,и:и- компланарны.

Тема 8. Прямые линии и плоскости.

Нормальным вектором прямой , называется всякий ненулевой векторперпендикулярный данной прямой.Направляющим вектором прямой , называется всякий ненулевой векторпараллельный данной прямой.

Прямая на плоскости в системе координат может быть задана уравнением одного из следующих видов:

1) -общее уравнение прямой, где - нормальный вектор прямой;

2) - уравнение прямой, проходящей через точкуперпендикулярно данному вектору;

3) - уравнение прямой, проходящей через точкупараллельно данному вектору(каноническое уравнение);

4) - уравнение прямой, проходящей через две данные точки,;

5) -уравнения прямой с угловым коэффициентом , где - точка через которую прямая проходит;() – угол, который прямая составляет с осью;- длина отрезка (со знаком), отсекаемого прямой на оси(знак «», если отрезок отсекается на положительной части оси и «», если на отрицательной).

6) -уравнение прямой в отрезках, где и- длины отрезков (со знаком), отсекаемых прямой на координатных осяхи(знак «», если отрезок отсекается на положительной части оси и «», если на отрицательной).

Расстояние от точки до прямой, заданной общим уравнениемна плоскости, находится по формуле:

.

Угол ,() между прямыми и, заданными общими уравнениями или уравнениями с угловым коэффициентом, находится по одной из следующих формул:

; .

, если или.

,если или

Координаты точки пересечения прямых инаходятся как решение системы линейных уравнений:или.

Нормальным вектором плоскости , называется всякий ненулевой векторперпендикулярный данной плоскости.

Плоскость в системе координатможет быть задана уравнением одного из следующих видов:

1) -общее уравнение плоскости, где - нормальный вектор плоскости;

2) - уравнение плоскости, проходящей через точкуперпендикулярно данному вектору;

3) - уравнение плоскости, проходящей через три точки,и;

4) -уравнение плоскости в отрезках, где ,и- дины отрезков (со знаком), отсекаемых плоскостью на координатных осях,и(знак «», если отрезок отсекается на положительной части оси и «», если на отрицательной).

Расстояние от точки до плоскости, заданной общим уравнением, находится по формуле:

.

Угол ,() между плоскостями и, заданными общими уравнениями, находится по формуле:

.

, если

, если .