26. Вывести уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору. Вывести общее уравнение плоскости.
Ответ: Покажем, что точка M(1, 2, 10) принадлежит плоскости x − y + 1 = 0 .Решение. Подставляем координаты точки x = 1 , y = 2 и z = 10 в уравнение плоскости x − y + 1 = 0 . Получаем 1 − 2 + 1 = 0 0 ≡ 0.Так как уравнение превратилось в тождество, точка M(1, 2, 10) принадлежит плоскости x − y + 1 = 0 .Всякое уравнение первой степени Ах + Ву +Сz +D=0 в прямоугольной системе координат Оxyz определяет плоскость, и притом единственную.Ах + Ву +Сz +D=0 – общее уравнение плоскости, где D = - (Ах0 + Ву0 +Сz0).
27. Вывести уравнение плоскости, проходящую через три заданные точки. Записать уравнение плоскости, проходящую через 2заданные точки и параллельной заданному вектору. Записать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и параллельно двум неколлинеарным плоскостям.
Ответ: Пусть плоскость проходит через М1(х1;у1;z1) и М2(х2;у2;z2) и М0(х0;у0;z0). Возьмем на плоскости произвольную точку М. Тогда векторы М0М(х-х0;у-у0;z-z0), М0М1(х1-х0;у1-у0;z1-z0) и М0М2(х2-х0;у2-у0;z2-z0) будут компланары. Из условия компланарности векторов можно записать:
│ х-х0 у-у0 z-z0│
│ х1-х0 у1-у0 z1-z0│ = 0.
│ х2-х0 у2-у0 z2-z0│
Уравнение прямой, проходящей через 2 точки в пространстве:
Пусть требуется найти уравнение прямой L, проходящей через точки М1(х1;у1;z1) и М2(х2;у2;z2). Так как вектор М1М2 = (х2-х1; у2-у1; z1-z2) коллинеарен прямой L, то его можно принять за направляющий вектор. Искомые уравнения напишем как уравнения прямой, проходящей через точку М1 и имеющей направляющий вектор М1М2:
(х-х1)/(x2-x1=( у-у1)/(y2-y1).
28. Вывести формулу для определения угла между плоскостями. Записать формулу расстояния от точки до плоскости. Описать варианты взаимного расположения двух плоскостей.
Ответ: Пусть требуется определить угол между прямыми l1 и l2, заданными в плоскости Oxy уравнениями А1х+В1у+С1=0 и А2х+В2у+С2=0. Очевидно, что n1=(A1;B1) является нормальным вектором прямой l1, а n2=(A2;B2) – нормальный вектор прямой l2. Кроме того, угол φ между нормальными векторами n1 и n2 равен одному их углов, образованных прямыми l1 и l2.
φ=(n1^n2) = (l1^l2).
Но : ___n1 ∙ n2_____
cos φ=│n1│∙│n2│
Записав правую часть последнего равенства в координатной форме, получаем:
__A1A2 + B1B2____
cos φ = √A21+B21 √ A22+B22
Эта формула служит для определения угла между двумя прямыми, заданными их общими уравнениями.
Расстояние от точки до прямой
29. Вывести уравнение прямой пространства, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору (канонические и параметрические уравнения).
Каноническое уравнение:
Каноническое уравнение:
