51. Составить общую схему исследования функции и построения её графика.

Общая схема исследования функции

1.  Нахождение области определения функции.2.  Исследование функции на четность и нечетность.

3.  Установление области непрерывности  функции и точек разрыва. Отыскание вертикальных асимптот.4.  Исследование поведения функции при  (если она там определена). Отыскание горизонтальных и наклонных асимптот.5.  Нахождение экстремумов и интервалов монотонности функции. Составление таблицы.6.  Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости и точек перегиба графика функции.7.  Нахождение точек пересечения графика функции с осями, интервалов знакопостоянства  функции. Составление таблицы. Отыскание дополнительных точек для построения графика.8.  Построение графика функции.

52. Вывести понятие функции многих переменных, области определения.

 Рассматривается  множество . Если определено правило, по которому каждой точке  ставится в соответствие некоторое число  (единственным образом), то говорят, что на множестве D определена (однозначная) функция . Как обычно, множество D называется областью определения функции, а множество всех соответствующих значений u: Q = {u} – множеством значений. Часто функцию u = F(x) называют отображением 

При n = 2  уравнение F(x,y) = C задает линии уровня  поверхности z = F(x,y), а при n = 3 уравнение  F(x,y,z) = С – поверхности уровня.

Задание ФНП может быть неявным: F(x,u) = 0 или  параметрическим   .             

53. Дать определение предела функции многих переменных в точке. Непрерывность функции многих переменных.

Функция u = f(x) называется непрерывной в точке a, если

lim x → a  f(x) =f(a).

Обозначим приращения аргументов символами Δx₁ = x₁ − a₁, Δx₂ = x₂ − a₂,  …, Δx_n = x_n − a_n. Соответствующее приращение функции u=f(x)

Δu = f(a1 + Δx1, a2 + Δx2,   … ,  an + Δxn) − f(a1,  a2,  … ,  an).

функции u=f(x) в точке a, соответствующим прирашению Δx = {Δx₁, Δx₂,  …, Δx_n}.

Условие, определяющее непрерывную функцию u = f(x) в точке a эквивалентно условию

lim Δx → 0  Δu = 0.

Приращение

δxku = f(a1,  … , ak + Δxk,  … , an) − f(a1, a2,  … , an)

называется частным приращением функции u в точке a, соответствующим приращению Δx_k аргумента x_k.

Определение 2. Функция u = f(x) = f(x₁, x₂,  … , x_n) называется непрерывной в точке a = (a₁, a₂,  … , a_n) по переменной x_k , если

lim Δxk → 0  δxku = 0.

Определение. Величина u называется функцией нескольких независимых переменных (x, y, z, …,t), если каждой совокупности значений этих переменных ставится в соответствие определенное значение величины u.

Если переменная является функцией от двух переменных х и у, то функциональную зависимость обозначают

 

z = f (x, y).

Символ f определяет здесь совокупность действий или правило для вычисления значения z по данной паре значений х и у.

54. Дать определение частных производных первого порядка функции многих переменных. Геометрический смысл частной производной. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции многих переменных.

Для функций нескольких переменных вводится понятие частной производной первого порядка, то есть производной функции по одной из переменной при условии, что остальные переменные фиксированы. Например, для функции двух переменных z = f(x, y) рассматриваются частные производные по переменной x и по переменной y. Они обозначаются следующим образом: обозначение частных производных первого порядка
	геом.смысл Геометрический смысл частных производных: Рассмотрим функцию двух переменных f(x, y) , определенную в некоторой окрестности точки (x0, y0) . Пусть она имеет в этой точке частную производную f'x(x0, y0) = d dx f(x, y0) п п п x = x0 = tg α. Согласно геометрическому смыслу производной функции одной переменной f(x, y0) , α является углом между осью OX и касательной к графику этой функции, т.е. к кривой, определяемой системой уравнений м н о z = f(x, y), y = y0,  в точке (x0, y0, z0) , где z0 = f(x0, y0)
	необх. и достат. условия... Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x0 необходимо и достаточно, чтобы у нее существовала производная в этой точке.  При этом  Δy = f(x0+Δx)-f(x0) = f '(x0)Δx+α(Δx)Δx,  где α(Δx) - бесконечно малая функция, при Δx→0.  для функции одной переменной существование производной в точке является необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции в этой точке. Для функции многих переменных дифференцируемость и существование частных производных не являются эквивалентными свойствами функции.Теорема 6 (необходимое условие дифференцируемости). Если функция дифференцируема в точке , то она имеет в точке частные производные по каждой переменной и .  При этом ,, где и – числа из равенства (1). Поэтому условие дифференцируемости (1) можно записать в виде  а полный дифференциал функции – в виде  Обратная теорема не верна, т.е. существование частных производных не является достаточным условием дифференцируемости функции.