21. Вывести параметрическое уравнение прямой на плоскости;

уравнение прямой, проходящей через данную точку, параллельно данному вектору. Записать уравнение прямой , проходящей через две данные точки; уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Показать на рисунках.

Ответ:

22. Вывести формулу для нахождения угла между прямыми на плоскости. Перечислить условие параллельности и перпендикулярности двух прямых. Записать формулу расстояния от точки до прямой.

Ответ: Пусть требуется определить угол между прямыми l₁ и l₂, заданными в плоскости Oxy уравнениями А₁х+В₁у+С₁=0 и А₂х+В₂у+С₂=0. Очевидно, что n₁=(A₁;B₁) является нормальным вектором прямой l₁, а n₂=(A₂;B₂) – нормальный вектор прямой l₂. Кроме того, угол φ между нормальными векторами n₁ и n₂ равен одному их углов, образованных прямыми l₁ и l_2.

φ=(n₁^n₂) = (l₁^l₂).

Но : ___n_{1 ∙} n_{2_____}

cos φ=│n₁│∙│n₂│

Записав правую часть последнего равенства в координатной форме, получаем:

__A₁A₂ + B₁B_{2____}

cos φ = √A²₁+B²₁ √ A²₂+B²₂

Эта формула служит для определения угла между двумя прямыми, заданными их общими уравнениями.

Если прямые l₁ и l₂ параллельны между собой, то их нормальные векторы n₁=(A₁;B₁) и n₂=(A₂;B₂) коллинеарны. Считая, что ни одна из прямых не колллинеарна осям координат, запишем условие коллинеарности векторов n₁ и n₂ в координатной форме:

А₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂  k₁=k₂.

К этому же выводу можно прийти и из геометрических соображений. Если l₁ ║ l₂, то α₁= α₂.

Следовательно, tg α₁ = tg α₂ (при условии, что α₁=α₂≠90^o), или k₁=k₂. Таким образом, прямые параллельны тогда и только тогда, когда равны их угловые коэффициенты.

Условие перпендикулярности прямых.

Если прямые l₁ и l₂ взаимно перпендикулярны, то взаимно перпендикулярны и их нормальные вектора n₁=(A₁;B₁) и n₂=(A₂;B₂). Запишем условие перпендикулярности векторов n₁ и n₂ в координатной форме:

А₁А₂ + В₁В₂=0.

Считая, В₁≠0 и В₂≠0, имеем: _ __1__

А₁/В₁ ∙ А₂/В₂ +1= 0  k₁ ∙ k₂=0, или k₁= k₂ , если k₂≠0.

Таким образом, прямые взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку. (Например, 2/3 и -3/2).

23. Дать определение элипса. Записать каноническое уравнение элипса, основные хар-ки. Изобразить на рисунке.

Ответ: Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до 2ух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная. Для вывода уравнения эллипса выберем систему координат таким образом, чтобы ось ОХ проходила через фокусы, а ось ОУ через середину отрезка, соединяющего фокусы.

Пусть М(х,у) –произвольная точка эллипса.Обозначим расстояние между фокусами через 2с:

F₁M + F₂M = 2a._____________

Тогда получим: √(х + с)² + (у - 0)² = 2а.

Возведя дважды в квадрат данные уравнения выражения и обозначив а²-с²=в², уравнение эллипса записывается: х² _ у²

а² в² =1.

Исследование уравнения эллипса:

1. Т.к. переменные х и у входят в уравнение эллипса во второй степени, то эллипс симметричен относительно осей ОХ и ОУ.

2. Выразим из уравнения эллипса У:

у² х² а²в² – в²х² в² + в ____

в² = 1 - а², у² = а² = а² (а²-х²).  у = - а √(а²-х²).

Отсюда следует, что │х│≤ а.

Значит, эллипс заключен между прямыми х=-а и х=а.

Выразим из уравнения эллипса х:

+ _а_ ______

х = - в √(в² – у²), Значит, эллипс заключен между прямыми у=в и у=-в.

При возрастании х от 0 до а, у изменяется от в до 0.

Отрезок А₁А₂, равный 2а, называется большой осью эллипса.

Отрезов В₁В₂, равный2в называется малой осью эллипса.