17. Дать определение векторного произведения векторов. Записать его свойства. Объяснить геометрич. Смысл.

Ответ: Векторным произведением вектора а на неколлинеарный ему вектор в называется такой вектор с, который удовлетворяет след. условиям:

1. Вектор С перпендикулярен плоскости, образован.векторами а и в.

2. Векторы а, в и с образуют правую тройку векторов, т.е. если из конца вектора с кратчайший поворот от вектора а к вектору в виден против часовой стрелки);

3. Длина вектора с численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах а и в.

Векторное произведение обозначается: с=а х в.

│с│=│а│х│в│*sin α.

Свойства векторн.произведений:

1. Для любых векторов а и в пространстве справедливо равенство: а х в= -в х а

2. Для любых векторов а и в в пространстве и числа λ справедл.равенство: λа х в=а х λв.

3. Для любых 3 векторов а, в, с в пространстве справедливо равенство: (а+в)х с=ас + вс.

Геометрический смысл: Длинна вектора с численно равны S построенного на векторах a и b.

18. Дать определение векторного произведения векторов. Вывести формулу векторного произведения векторов в пространстве.

Векторное произведение -это псевдовектор, перпендикулярный плоскости, построенной по двум сомножителям, являющийся результатом бинарной операции «векторное умножение» над векторами в трёхмерном евклидовом пространстве.

19. Дать определение смешанного произведения векторов. Записать свойства. Вывести формулу спв в координатной форме. Объяснить геометрический смысл спв.

Ответ: Смешанным произведением 3 векторов а, в,с пространства назыв. число, равное скалярному произведению а х в х с. Смешан. произведен. векторов: (а х в)с, или [a,в]c, или [a,в,с].

Из определения следует, что:

(а х в)с=│а х в│*│с│*cos(a x b)^c=(│a│*│в│*sin a^b) ∙ │c│*cos(а х в)^с.

Теорема: Для любых 3 некомпланарных векторов а,в,с имеет место равенство: │(а х в)с│=V, где V – объем параллелепипеда, построенного на векторах а, в и с, т.е. модуль их смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, отложен. от одной точки.

Теорема: Для того, чтобы смешан.произведение 3 векторов было равно нулю, необходимо и достаточно, чтобы эти векторы были компланарны.

Свойства смешанного произведения:

1). Смешан.произведение не меняется при циклической (круговой) перестановке векторов со сомножителями, т.е.: (а х в)с=(в х с)а=(с х а)в., и знак смешан.произведения меняться на противоположный при перестановке любых 2сомножителей местами.

2). Если векторы а, в, с заданы в координатах а(x₁,y_1,z₁), в(x₂,y_2,z₂) и с(x₃,y_3,z₃), то смешан. произведение векторов равно определителю 3его порядка, составленного из координат этих векторов: │x₁ y₁ z₁│

(а х в)с = │x₂ y₂ z₂│

│x₃ y₃ z₃ │

Вектора являются компланарными, если лежат в одной плоскости.

20. Вывести уравнение прямой на плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярную данному вектору; общее уравнение прямой. Записать уравнение прямой в отрезках, уравнение прямой с угловым коэффициентом. Показать на рисунках.

Ответ: Ax+By+c=0-ур-ие прямой на плоскости.

Если в общем уравнении прямой  , то разделив (1) на  , получаем уравнение прямой в отрезках

 -ур-ие в отрезках.

Если в общем уравнении прямой  , то его можно записать в виде уравнения с угловым коэффициентом

где    угловой коэффициент.