3. Вывести формулы сложения, вычитания, умножения, деления комплексных чисел в алгебраич. Форме.

Ответ: Операции над комплексн.числами (z1=a+bi, z2=c+di);:

1). Сложение: z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+i(b+d). Для сложения необход. сложить их действит.части и коэффициенты при мнимых частях.

2). Вычитание: z1-z2=(a+bi)-(c-di)=(a-c)+i(b-d).

3). Умножение: z1*z2=(a+bi)*(c+di)=(ac)+adi+cbi+bdi²=ac+i(ad*cb)-bd . !(bdi²=-bdi).

4). Деление: z1/z2=a+bi/c+di=(a+bi)(c-di)/(c+di)(c-di)=ac-adi+bci-bdi²/c²-d²i²=ac+bd+(bc- ad)i/c²+d²=ac+bd/c²+d² + (bc-ad)i/ c²+d²

4. . Вывести формулы сложения, вычитания, умножения, деления комплексных чисел в тригонометрич. Форме.

Ответ: Из геометрической интерпретации комплексн.чисел можно записать, что a=r*cos φ, b=r*sin φ. Тогда комплексн.число z=a+bi можно записать в виде z=r*cos φ+ r*sin φi, или

z=r(cos φ+i*sin φ). Эта форма записи комплексн.числа назыв.тригонометрической.

Действия над компл.числами в тригоном.форме:

z1=r1(cosφ1+sin φ1); z2=r2(cosφ2+sin φ2);

1).Умножение z1*z2= r1(cosφ1+sin φ1)* r2(cosφ2+sin φ2)=r1*r2(cos(φ 1+φ 2)+isin(φ 1+φ 2));

2).Деление: z1/z2= r1(cosφ1+sin φ1) /r2(cosφ2+sin φ2)=(r1/r2)*cos(φ1- φ2)+i*sin(φ1- φ 2).

5. Записать формулу Муавра, формулу извлечения корня из комплексных чисел. Привести примеры.

Ответ: формула, содержащая правило для возведения в степень n комплексного числа, представленного в тригонометрической форме z = ρ (cos φ + i sin φ);

Извлечение корня: ⁿ√z=z^1/n; => ⁿ√z= ⁿ√r * cos (φ+2πk/n) + i*sin (φ+2πk/n).

6. Ввести понятие матрицы. Дать основные определения.

Ответ: Для описания многих математических и экономических моделей иногда приходится использовать большое количество однотипных величин. В этом случае данные удобно представлять в виде таблиц. Матрицей размера m x n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m-строк и n-столбцов.

В общем виде матрица записывается следующ.образом:

a_1.1 a_1.2 … a_1.n

а= a_2.1 a_2.2 … a_2.n

… … … … …

a_m.1 a_{m.2 .}... a_m.n

Каждый элемент матрицы имеет 2 индекса: первый (i) – номер строки, в которой содержится элемент, второй (j) – номер столбца.

Если m=n, то матрица называется квадратной. Квадратн.матрица записывается след.образом:

a_1.1 a_1.2 … a_1.n

а= a_2.1 a_2.2 … a_2.n

… … … … …

a_n.1 a_{n.2 .}... a_n.n

Элементы матрицы a_1.1 a_2.2 … a_n.n образуют главную диагональ матрицы.

7. Дать определение линейных операций над матрицами. Произведение матриц. Приведение матриц к ступенчатому виду.

Ответ: Системой m – линейных уравнений с n-неизвестными называется система вида

а_1.1х₁ + а_1.2х₂+…+ а_1.nх_n = в₁

а_2.1х₁ + а_2.2х₂+…+ а_2.nх_n= в₂

… …. … … ….

а_.m.1х₁ + а_.m.2х₂+…+ а_m.nх _n= в_m

где х₁, х₂, …, х_n – неизвестные величины;

а_1.1, а_1.2, …, а_m.n - коэффициенты при неизвестных величинах;

в₁, в₂,…, в_m – свободные члены (столбец свободных членов).

Решением системы называется такое значение переменных х₁, х₂, …, х_n , при которых каждое из уравнений, входящих в систему, обращается в верное числовое равенство.

Если m<n, т.е. количество неизвестных больше количества уравнений, входящих в систему,

то система имеет бесчисленное множество решений.

Если m≥n, то система может иметь единственное решение, не имеет решения или иметь бесчисленное количество решений.

Система, которая имеет хотя бы одно решение, называется совместной.

Произведение двух матриц: А размером m x n, и В размером m x p, элементы которой определяются по формуле:

_n

С(i,j)= ∑ а_ik ∙ b_jk

^k-1

Для матриц в общем случае переместительный закон умножения не выполняется:

а ∙ в ≠ в ∙ а.

2. Каждой матрице а можно поставить в соответствие транспонированную матрицу (а^т), которая получается из матрицы а заменой соответствующих строк столбцам, или наоборот.

Транспонированная матрица имеет вид:

a_1.1 a_2.1 … a_m.1

а= a_1.2 a_2.2 … a_m.2

… … … … …

a_1.n a_{2.n. .}... a_m.n

_{_____________________________________________________________________________________________________________}Для приведения матрицы к ступенчатому виду "вручную" к строкам матрицы применяются элементарные преобразования: строки матрицы можно менять местами, умножать или делить на ненулевое число, складывать и вычитать.