49. Дать определения выпуклости и вогнутости функции, точек перегиба. Сформулировать достаточное условие выпуклости и вогнутости функций. Сформулировать достаточное условие перегиба функции.

График дифференцируемой функции называется выпуклым вниз (вогнутым) на интервале (a;b), если он расположен выше любой её касательной на этом интервале.

График функции называется выпуклым вверх на интервале (a;b), если он расположен ниже любой её касательной на этом интервале.

Точка графика непрерывной функции отделяющая части разной выпуклости называется точкой перегиба.

0 – точка перегиба

Теорема 1: Если функция во всех точках интервала (a;b) имеет отрицательную вторую производную, т.е. , то график функции на этом интервале выпуклый вверх; если для любого , то график выпуклой вниз.

Теорема 2 (Достаточное условие существования точки перегиба): Если при переходе через точку , в которой она равна 0 или не существует, меняет знак, то и есть точка перегиба.

50. Дать определение асимптоты графика функции. Перечислить виды асимптот. Записать формулы для их нахождения.

Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные.

По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные , горизонтальные , наклонные .

Очевидно, горизонтальные являются частными случаями наклонных (при ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нахождение асимптот графика функции основано на следующих утверждениях.

Теорема 1. Пусть функция  определена хотя бы в некоторой полуокрестности точки  и хотя бы один из ее односторонних пределов в этой точке бесконечен, т.е. равен  или . Тогда прямая  является вертикальной асимптотой графика функции.

Таким образом,  вертикальные асимптоты графика функции следует искать в точках разрыва функции или на концах ее области определения (если это конечные числа).

Теорема 2. Пусть функция  определена при значениях аргумента, достаточно больших по абсолютной величине, и существует конечный предел функции . Тогда прямая  есть горизонтальная асимптота графика функции .

Может случиться, что , а , причем  и   конечные числа, тогда график имеет две различные горизонтальные асимптоты: левостороннюю и правостороннюю. Если же существует лишь один из конечных пределов  или , то график имеет либо одну левостороннюю, либо одну правостороннюю горизонтальную асимптоту.

Теорема 3. Пусть функция  определена при значениях аргумента, достаточно больших по абсолютной величине, и существуют конечные пределы   и . Тогда прямая  является наклонной асимптотой графика функции .

Заметим, что если хотя бы один из указанных пределов бесконечен, то наклонной асимптоты нет.

Наклонная асимптота так же, как и горизонтальная, может быть односторонней.

Пример. Найдите все асимптоты графика функции .

Решение.

Функция определена при . Найдем ее односторонние пределы в точках .

Так как  и  (два других односторонних предела можно уже не находить), то прямые  и  являются вертикальными асимптотами графика функции.

Вычислим

 (применим правило Лопиталя) =

.

Значит, прямая   горизонтальная асимптота.

Так как горизонтальная асимптота существует, то наклонные уже не ищем (их нет).

Ответ: график имеет две вертикальные асимптоты  и одну горизонтальную .