34. Дать определение производной функции в точке. Сформулировать её геометрический и физический смысл.

Пусть функция определена на некотором интервале

Аргументу зададим приращение , т.е. .

Найдём соответствующие приращения функции:

Составим отношение приращения функции к приращению аргумента: .

Найдём предел этого отношения при

Если этот предел существует, то его называют производной функции .

Обозначается:

Производная функции в точке – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение стремится к 0.

Функция , имеющая производную в каждой точке интервала называется дифференцируемой в этом интервале.

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

35. Сформулировать правила дифференцирования. Вывести формулу производной суммы (разности).

Теорема 1: Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций.

Теорема 2: Производная произведения двух функций равна произведению производной функции первой на вторую плюс произведение первой функции на производную второй.

Теорема 3: Производная частного двух функций равна дроби, числитель которой равен разности произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель равен квадрату прежнего знаменателя.