§ 2.4. Базис векторного пространства. Координаты вектора

Понятия линейной комбинации, линейной зависимости и независимости векторов вводятся аналогично тому, как это было сделано для строк матрицы.

Определение. Линейной комбинацией векторов с коэффициентамиC₁,C₂,...,C_n называется вектор C₁+C₂+...+C_n.

Эта комбинация обладает двумя основными свойствами.

1. Если векторы коллинеарны некоторой прямой, то любая их линейная комбинация будет коллинеарна той же прямой.

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

2. Если векторы компланарны некоторой плоскости, то любая их линейная комбинация компланарна той же плоскости.

Определение. Векторы называютсялинейно зависимыми, если существуют такие числа C₁,C₂,...,C_n , не все равные нулю, что C₁+C₂+...+C_n=

В противном случае векторы называютсялинейно независимыми.

Определение. Совокупность n линейно независимых векторов называется базисом.

Множество всех плоских или пространственных векторов в которых определены операции сложения векторов и умножение вектора на число, являются простейшими примерами векторного пространства.

Определение. Множество векторов, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее приведенным выше семи свойствам называется векторным пространством.

Оказывается, что в любом векторном пространстве всегда можно выбрать несколько векторов, из которых с помощью линейных комбинаций однозначно можно получить любой вектор этого пространства и которые являются базисными.

Определение. Любой ненулевой вектор на прямой называетсябазисным вектором этой прямой. Любая пара неколлинеарных векторов плоскости называется базисом этой плоскости. Любая тройка некомпланарных векторов называется базисом пространства.

Теорема о базисе. Любой вектор (на прямой, плоскости или в пространстве) единственным образом записывается в виде линейной комбинации соответствующих базисных векторов. То есть,

1. на прямой:

2. на плоскости:

3. в пространстве:

Доказательство.

1. Случай прямой.

Пусть вектор лежит на прямойL, – базисный вектор этой прямой. Отложим вектораииз некоторой точкиO на прямой, вектор возьмём в качестве масштабного единичного отрезка наL, в результате на L образуется координатная ось. Пусть конец вектора есть точкаA, и x её координата на этой оси, тогда согласно определению произведения вектора на число имеем =x, т.е. =x.

L

2. Случай плоскости.

Пусть векторы ,илежат в плоскости.Отложим их из некоторой точкиO этой плоскости, конец вектора обозначим черезA.

Проведём через вектора иосиOx и Oy с единичными отрезками и, через точку A проведём прямые параллельные этим осям, их точки пересечения с Ox и Oy обозначим через A₁ и A₂ соответственно.

П

Координату точки A₁ на Ox обозначим через x, а координату точки A₂ на Oy – через y. Тогда ис-пользуя определение суммы векторов и предыдущий случай получим: ==+=x+y.

3) Случай пространства. Отложим вектора ,,ииз некоторой точкиO, через вектора ,, ипроведём осиOx, Oy, Oz. Из конца вектора , точкиA проведём три плоскости, параллельные парам осей Ox, Oy; Oy, Oz и Ox, Oz. Их точки пересечения с осями Ox, Oy, Oz обозначим через A₁, A₂, A₃, а координаты этих точек на осях через x, y, z. В результате мы имеем. ==++=x+y+z.

Проверим, что коэффициенты (x, y, z) линейной комбинации определяется однозначно. Допустим противное, пусть вектор можно записать двумя способами:=x₁+y₁+z₁ и

= x₂+y₂+z₂, где x₁ x₂ или y₁y₂ , или z₁z₂. Вычитая из первого равенства второе, получим = (x₁-x₂)+(y₁-y₂)+(z₁-z₂).

Здесь справа стоит вектор, выражающий диагональ параллелограмма или параллелепипеда, или отрезок на одной из осей Ox, Oy, Oz, который не является нулевым. Противоречие.

Из последнего рассуждения следует, что базисные вектора линейно независимы.

Определение. Коэффициенты линейной комбинации базисных векторов, выражающие вектор на прямой, в плоскости или в пространстве называются, координатами вектора в данном базисе.

Вектор, лежащий на прямой, имеет одну координату x, на плоскости – две координаты x, y; в пространстве – три координаты x, y, z.

Векторы удобно отождествлять с координатами в некотором выбранном базисе. Так, вектор в пространстве записывают в виде:

=(x,y,z) или ={x,y,z}

Теорема. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

Пусть в пространстве имеется декартова система координат Oxyz. С ней связан стандартный базис из единичных взаимно перпендикулярных векторов, расположенных вдоль осей Ox, Oy, Oz. Эти

базисные вектора обозначаются через ,,.

Выясним связь между введёнными ранее понятиями координат точки в системе Oxyz и вектора в базисе {,,}.

Определение. Вектор, начало которого находится в начале координат, а конец в точке A, т.е. вектор , называетсярадиус–вектором точки A.

Если (x,y,z) – координаты точки A в системе Oxyz, то радиус–вектор можно записать в виде=x+y+z. Поэтому координаты точки A(x,y,z) в системе Oxyz и вектора в базисе

{,,} – это одни и те же числа.

Теорема. Пусть в декартовой системе координат Oxyz заданы две точки A(x_A,y_A,z_A) и B(x_B,y_B,z_B), тогда в базисе {,,} вектор имеет координаты((x_В– x_А),(y_В–y_А),(z_В–z_А)).

Доказательство. Запишем вектор в виде:

=–=+(–1)

и воспользуемся результатом предыдущей теоремы для базиса {,,}, получим:

.

Пример3. Пусть A(1,–1,1), B(2,3,4), тогда в базисе {,,}

=+4+3, т.е.={1,4,3}.

Иногда координаты вектора в базисе {,,} удобно представлять себе в виде проекций.

Определение. Проекцией вектора на координатную ось L называется длина проекции вектора наL, взятая со знаком “+”, если угол между и положительным направлением оси острый, и “–“, если он тупой.

При параллельном переносе вектора, его проекция на ось L не меняется. Проекция обозначается символами . Несложно проверить, что=и=+. Очевидно, что еслиимеет координатыто,,.

Отсюда получим следующую теорему.

Теорема. Пусть вектор имеет координатыв базисе{,,}, тогда ,,.

Определение. Проекцией вектора на ненулевой вектор (обозначение ) называется его проекция на ось L, проведенная через вектор (см. рис. 2.14).