§ 2.6. Векторное произведение векторов и его свойства.

Это произведение определено только для пространственных векторов и, и оно обозначается символамиили

Определение. Векторным произведением векторов иназывается вектор, удовлетворяющий трём условиям:

а) Модуль вектора равен произведению модулей векторовина синус угла между ними:

sin

в) перпендикулярен векторам и т.е. он перпендикулярен плоскости, проходящей через вектора и.

с) Тройка векторов правая (см. рис. 2.18).

Пример 1. Найдем .

Поскольку ито

Вектор перпендикулярен векторам, т.е. он направлен вдоль осии образует правую тройку с векторами. Этим свойством обладает только вектор, т.е.

.

Отметим следующие свойства векторного произведения.

В отличие от скалярного произведения векторное произведение

антикоммутативно т.е. для любых векторов иверно:

.

. Ненулевые векторы коллинеарны только в том случае когда .

. Постоянный множитель можно выносить за знак векторного произведения т.е. для любых векторов и числаверно

:

.

. Векторное произведение обладает свойством дистрибутивности т.е. для любых векторов верно .

Теорема. Пусть в базисе векторыимеют координатыисоответственно. Тогда в этом базисе

Для запоминания этой формулы используется её запись в виде условного определителя:

,

который необходимо разложить по первой строке.

Пример2. Из того что следует, что.

Пример3. .

Пример4. Пусть  Найдем

Из-за некоммутативности векторного произведения правила тождественных преобразований для этого произведения не применяются для вычисления модуля вектора используются свойства и определения этого произведения.

Пример5. Пусть

Найдем .

Векторное произведение, в частности, применяется для нахождения координат векторов перпендикулярных двум заданным векторам. В последнем примере вектор перпендикулярен векторами образует с ними правую тройку. Другое приложение векторного произведения связано с задачей нахождения площадей. Заметим что модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах. Площадь треугольника образованного этими векторами равна

Отсюда получаем следующее.

Следствие 1. Площадь параллелограмма построенного на векторах и, равна:

.

Площадь треугольника, построенного на этих векторах, равна:

.

Пример6. Найдем площадь треугольника АВС где

Для её нахождения используем векторы и

Следствие 2. Площадь параллелограмма построенного на векторах и, лежащих в плоскости, равна:

.

Площадь треугольника построенного на векторах, равна:

Эти формулы получаются из формул следствия 1 путем подстановки туда

Получим: .

Последнюю формулу можно такие записать в виде:

.

Другие приложения векторного произведения будут рассмотрены в 11-м модуле, изучаемом в третьем семестре.

§ 2.7. Cмешанное произведение векторов и его свойства

Определение. Смешанным произведением трех векторов называется число, равное скалярному произведению векторного произведения векторовс вектором.

Оно обозначается символами или:

.