§ 2.2. Простейшие задачи аналитической геометрии

Рассмотрим две простейшие задачи: нахождение расстояния между двумя точками и деление отрезка в данном отношении.

Расстояние между точками A и B будем обозначать через AB. Оно обладает следующими свойствами.

1. AB0. AB=0 только в том случае, когда A=B.

2. AB=BA.

3. AC≤AB+BC.

Теорема 1. Расстояние между точками A(x_A) и B(x_B) на оси Ox находится по формуле AB=x_B–x_A. Здесь справа записан модуль разности между координатами точек B и A.

Рис.2.3 Расстояние между точками

Теорема 2. Расстояние между точками A(x_A,y_A) и B(x_B,y_B) на плоскости Oxy находится по формуле .

Теорема 3. Расстояние между точками A(x_A,y_A,z_A) и B(x_B,y_B,z_B) в пространстве Oxyz находится по формуле .

Пример. Пусть A(1,1,1), B(2,3,–1). Найдём |AB|.

Определение. Разделить отрезок AB в отношении это значит найти на нём такую точкуC, что

Теорема 4. Пусть точки A(x_A) и B(x_B) лежат на оси Ox и точка C(x_C) делит отрезок AB в отношении , тогда.

Доказательство. Пусть x_Bx_A, тогда x_Ax_Cx_B, |AC|=x_C–x_A, |MB|=x_B–x_C, из определения точки C получим уравнение:

Решим его.

Теорема 5. Пусть точка C(x_C,y_C,z_C) делит отрезок AB в отношении , гдеA(x_A,y_A,z_A), B(x_B,y_B,z_B), тогда

Пример2. Найти координаты точки M, делящей отрезок AB в отношении , гдеA(1,1,2), B(4,7,8). Получим:

Следовательно, M(2,3,4).

Следствие. Если точка M является серединой отрезка AB, то

.

Эти формулы получаются из формул теоремы 5 при =1.

§ 2.3. Векторы и линейные операции над ними. Базис векторного

пространства. Координаты вектора

Векторы используются для описания величин имеющих определённое направление. Примерами таких величин являются сила, скорость, перемещение.

Определение. Вектором называется отрезок с выбранным направлением, или направленный отрезок. Вектор с началом в точке A и с концом в точке B обозначается через , кроме того вектор можно обозначать одним символом, например .

Вектор, у которого начало совпадает с его концом называется нулевым вектором и обозначается через . Длина отрезка, изображающего вектор, называетсямодулем этого вектора и обозначается ||.

Векторы , параллельные одной прямой называютсяколлинеарными. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Два вектора исчитаютсяравными, если они равны по модулю, коллинеарны и одинаково направлены. Из этого определения следует, что при параллельном переносе вектор не меняется, по этому в качестве начала вектора можно выбрать любую точку.

Линейными операциями над векторами называются умножение вектора на число и сложение векторов.

Определение. Произведением вектора на число  называется такой вектор , что выполняются три условия.

1. ||=||||

2. ||

3. Вектор  сонаправлен вектору , если0 и направлен в противоположную сторону, если 0.

Пример1. Ниже изображены вектора ; 0,5; –2.

Рис. 2. 4 Умножения вектора на число

Определение. Суммой векторов и исходящих из одной точки называется вектор совпадающий с диагональю параллелограмма, образованного векторами и исходящий из той же точки.

Рис. 2.5 Сложение векторов

Если вектора ине исходят из одной точки, то их начала необходимо с помощью параллельного переноса перенести в одну точку. Это определение называетсяправилом параллелограмма. При сложении большого числа векторов удобнее пользоваться следующим определением, равносильным предыдущему.

Суммой векторов  у которых начало вектора совпадает с концом(i=2k), является вектор соединяющий начало вектора с концом вектора.

Пример2. Если вектора ,,совпадают с тремя рёбрами параллелепипеда исходящими из одной вершины, то их сумма++совпадает с диагональю этого параллелепипеда, исходящей из той же вершины (рис.2.6)

Эти линейные операции над векторами обладают следующими свойствами.

1. 1=

2. 0=

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

Операция разности векторов исводится к двум линейным операциям:, однако часто удобней пользоваться следующим специальным определением равносильным вышеприведённому.

Определение. Разностью векторов и, исходящих из одной точки называется вектор, соединяющий конец векторас концом вектораи направленный в сторону конца вектора.